Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp trong mặt phẳng

Vấn đề nghiên cứu các dạng chuẩn địa phương của phương trình đặc trưng dẫn đến sự thay đổi trơn của các tọa độ đã có các nghiên cứu tới thế kỷ XIX. Từ xuất phát ban đầu của bài toán cho tới cuối thế kỷ đã nhận được các dạng chuẩn bao gồm các phương trình Laplace, phương trình sóng, và phương trình Cibrario - Tricomi đã biết. Mời các bạn cùng tìm hiểu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp trong mặt phẳng ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHIẾU THỊ LAN ANHMỘT SỐ DẠNG CHUẨN TẮC CỦAPHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HỖN HỢP TRONG MẶT PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHIẾU THỊ LAN ANH MỘT SỐ DẠNG CHUẨN TẮC CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HỖN HỢP TRONG MẶT PHẲNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCNgười hướng dẫn khoa học: TS. TRỊNH THỊ DIỆP LINH THÁI NGUYÊN - 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình được trình bày theo nhận thức củariêng tôi. Các kết quả nêu trong luận văn là trung thực. Tài liệu tham khảo vànội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực và sự chính xác Thái Nguyên, tháng 9 năm 2015 Tác giả Khiếu Thị Lan Anh ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Trịnh Thị Diệp Linh. Nhândịp này tôi xin cám ơn Cô về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệmtrong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo, bộ phận Sau Đại học, Ban chủnhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học TháiNguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy vàtạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Cao Phong, Huyện Cao Phong,Tỉnh Hoà Bình cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặttrong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậyrất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn họcviên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôitrong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2015 Tác giả Khiếu Thị Lan Anh iiiMục lụcMở đầu 11 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Phôi và điểm kì dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Các điểm kì dị đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1. Điểm nút ổn định, điểm nút không ổn định, điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2. Tiêu điểm ổn định, tiêu điểm không ổn định, tâm điểm 9 1.3.3. Điểm nút (suy biến) ổn định, điểm nút (suy biến) không ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Các tính chất của phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp . . 102 Một số dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp trong mặt phẳng 12 2.1. Định lý rút gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. Một số dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng hỗn hợp trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Kết luận 35Tài liệu tham khảo 36 1Mở đầu Họ các đường cong tích phân của phương trình đặc trưng đóng vai tròquan trọng trong lý thuyết của các phương trình đạo hàm riêng (xem [5],[7], [13]). Xét phương trình vi phân cấp 2 trên mặt phẳng a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy = F (x, y, u, ux , uy ), (1)trong đó x, y là các tọa độ, a, b, c là các hàm số trơn, và F là hàm số nàođó. Phương trình đặc trưng tương ứng được định nghĩa a(x, y)dy 2 − 2b(x, y)dxdy + c(x, y)dx2 = 0. (2)Như vậy, vấn đề nghiên cứu các dạng chuẩn địa phương của phương trìnhđặc trưng dẫn đến sự thay đổi trơn của các tọa độ đã có các nghiên cứutới thế kỷ XIX. Từ xuất phát ban đầu của bài toán cho tới cuối thế kỷđã nhận được các dạng chuẩn bao gồm các phương trình Laplace, phươngtrình sóng, và phương trình Cibrario - Tricomi đã biết. Các phương trình đặc trưng tương ứng với ba dạng trên là dy 2 + dx2 = 0, dy 2 − dx2 = 0 và dy 2 − xdx2 = 0, (3)(xem [4], [6], [7], [15]). Dạng chuẩn đầu tiên và dạng chuẩn thứ 2 được lấygần một điểm của miền xác định elliptic và hyperbolic của phương trìnhban đầu tương ứng với phương trình (2) có nghiệm 0 và hai nghiệm thựcdy : dx tại một điểm tương ứng. Dạng thứ ba là dạng chuẩn Cibrario - Tricomi, lấy vị trí tại một điểmđiển hình của loại đường suy biến (hay đường cong biệt thức khác) của 2phương trình, ở đây biệt thức là bằng 0 nhưng vi phân của nó khác 0,hướng đặc trưng không tiếp xúc với đường tại điểm này. Sự chứng minhdạng này đã được hoàn thành bởi Tricomi F. (xem [15]) nhưng còn có chỗthiếu sót và sau này đã được chứng minh hoàn chỉnh bởi Cibrario M. (xem[6]). Đây là dạng chìa khóa trong công thức của vấn đề đã được nghiêncứu bởi Tricomi và các sự thay đổi khác nhau của nó. Danh sách hoàn thành của các dạng chuẩn địa phương của mạng đặctrưng cho phương trình đạo hàm riêng tu ...