Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số định lý về sự phân nhánh nghiệm của phương trình phi tuyến

Luận văn thực hiện nghiên cứu với các mục tiêu: trình bày một cách hệ thống, chi tiết một số định lý cơ bản về sự phân nhánhnghiệm, như định lý Crandal-Rabinowitz; định lý Krasnoselskii; định lý Rabinowitz; giới thiệu các phương pháp khác nhau nghiên cứu sự phân nhánh; xét một số ứng dụng đơn giản. Để biết rõ hơn về nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số định lý về sự phân nhánh nghiệm của phương trình phi tuyếnBỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINHPhan Hữu HớnMỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ PHÂN NHÁNHNGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHITUYẾNLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCThành phố Hồ Chí Minh – 2011BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINHPhan Hữu HớnMỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ PHÂN NHÁNHNGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHITUYẾNChuyên ngành: Toán giải tíchMã số: 60 46 01.LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCNGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:PGS. TS. NGUYỄN BÍCH HUYThành phố Hồ Chí Minh – 2011LỜI CẢM ƠNLời đầu tiên, tôi kính xin gửi đến Thầy PGS. TS. Nguyễn Bích Huy lời cảm ơnchân thành vì đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt thời gian làm luận văn.Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô trường Đại học Sư Phạm Thànhphố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đãtận tình giảng dạy và hướng dẫn tôi trong suốt khóa học.Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp, các bạn học viên cao học ToánGiải tích K19 và gia đình đã luôn động viên, khuyến khích và giúp đỡ tôi trong thờigian tôi học tập và làm luận văn.Do kiến thức bản thân tôi còn hạn chế nên luận văn sẽ khó tránh khỏi nhữngthiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự nhận xét và chỉ bảo của Quí Thầy Cô và sự gópý chân thành của các bạn đồng nghiệp.Tp. Hồ Chí Minh, ngày 20/08/2011Học viên cao học khoá 19Phan Hữu HớnMỤC LỤCLỜI CẢM ƠN ............................................................................................. 3MỤC LỤC ................................................................................................... 4MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 51.Lý do chọn đề tài .................................................................................................... 52.Mục tiêu của đề tài ................................................................................................. 53.Phương pháp nghiên cứu ........................................................................................ 54.Nội dung luận văn .................................................................................................. 5Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................. 71.1.Đạo hàm Fréchet ................................................................................................. 71.2.Công thức Taylor................................................................................................. 71.3.Định lý hàm ẩn .................................................................................................... 81.4.Bổ đề Whyburn (xem tài liệu tham khảo [3]) .................................................... 81.5.Định lý mở rộng Dugundji .................................................................................. 81.6.Bậc tôpô của ánh xạ compắc ............................................................................... 8Chương 2. SỰ PHÂN NHÁNH TỪ GIÁ TRỊ RIÊNG ĐƠN ............... 122.1.Phép chiếu Liapunov-Schmit ............................................................................ 122.2.Định lý Crandal-Rabinowitz ............................................................................. 142.3.Ứng dụng ........................................................................................................... 15Chương 3. SỰ PHÂN NHÁNH TOÀN CỤC ......................................... 183.1.Nguyên lý nối dài .............................................................................................. 183.2.Định lý hàm ẩn toàn cục .................................................................................... 213.3.Định lý Rabinowitz về sự phân nhánh toàn cục ................................................ 23Chương 4. SỰ PHÂN NHÁNH NGHIỆM DƯƠNG ............................ 264.1.Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón ..................................................... 264.2.Định lý phân nhánh nghiệm dương ................................................................... 31KẾT LUẬN ............................................................................................... 39TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 40MỞ ĐẦU1.Lý do chọn đề tàiCác hệ thống trong tự nhiên hoặc xã hội được phát triển dưới tác động củanhiều yếu tố. Khi tác động các yếu tố này đạt tới một ngưỡng nào đó thì trong sự pháttriển của hệ thống xảy ra một đột biến lớn. Phát biểu ở dạng toán học, ta có một họphương trình dạng F ( x,λ ) = 0 phụ thuộc tham số λ thuộc một không gian L nào đóvà ∀λ ∈ L , phương trình có nghiệm tầm thường 0 nhưng tồn tại λ0 sao cho trong lâncận ( λ0 − ε ; λ0 + ε ) có thêm nghiệm x ( λ ) ≠ 0 . Ta nói họ nghiệm ( x ( λ ) , λ ) phânnhánh từ họ nghiệm tầm thường ( 0, λ ) tại điểm ( 0, λ0 ) và λ0 gọi là điểm phân nhánh.Nghiên cứu sự phân nhánh của các phương trình phi tuyến được bắt đầu từnhững năm 1930, được phát triển và hoàn thiện cho đến ngày nay. Chúng ta tìm đượccác ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu, phân tích nhiều hiện tượng của tựnhiên và xã hội.2.Mục tiêu của đề tài• Trình bày một cách hệ thống, chi tiết một số định lý cơ bản về sự phân nhánhnghiệm, như định lý Crandal-Rabinowitz; định lý Krasnoselskii; định lý Rabinowitz.• Giới thiệu các phương pháp khác nhau nghiên cứu sự phân nhánh.• Xét một số ứng dụng đơn giản.3.Phương pháp nghiên cứuChỉ nghiên cứu về mặt lý thuyết. Từ các tài liệu do giảng viên hướng dẫn giớithiệu và học viên tự tìm; học viên tự tìm hiểu vấn đề và trình bày kết quả theo hiểubiết của mình một cách chi tiết, theo hệ thống khoa học.Các phương pháp chứng minh cụ thể: sử dụng định lý hàm ẩn, bậc tôpô.4.Nội dung luận vănNội dung luận văn gồm 4 chương:Chương 1. Trình bày các kiến thức chuẩn bị cho các chương sau như: đạo hàmFréchet, công thức Taylor (trong khôn ...