Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân bằng

Khái niệm về số cân bằng được tìm ra và nghiên cứu đầu tiên bởi Behera và Panda. Sau đó, rất nhiều tính chất đẹp của số cân bằng được tìm thấy. Năm 2012, Keskin và Karaatli đã tìm ra một số tính chất mới của số cân bằng, số tam giác chính phương. Bên cạnh việc nghiên cứu các tính chất của số cân bằng, nhiều nhà toán học cũng đã nghiên cứu việc sử dụng các số cân bằng để giải một số dạng phương trình Diophant.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân bằng ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG THƯƠNGMỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT LIÊN QUAN ĐẾN SỐ CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG THƯƠNGMỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT LIÊN QUAN ĐẾN SỐ CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên - 2018Mục lụcLời cảm ơn iiiMở đầu 1Chương 1 . Một số tính chất của số cân bằng 3 1.1 Khái niệm về số cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Khái niệm số tam giác chính phương . . . . . . . . . . 4 1.3 Khái niệm số đối cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Một số dãy liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6 Một số kết quả của Keskin và Karaatli . . . . . . . . . 13Chương 2 . Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân bằng 24 2.1 Nghiệm nguyên dương của phương trình Pell . . . . . 25 2.2 Nghiệm nguyên dương của một số phương trình Diophant 26 2.3 Lũy thừa trong dãy các số cân bằng và các số Lucas cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4 Lũy thừa trong tích các số hạng của các số cân bằng . . 45 i 2.5 Lũy thừa trong tích của các số Lucas cân bằng . . . . . 49Kết luận 56Tài liệu tham khảo 57 iiLời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa Học - Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Ngô Văn Định, Trường Đạihọc Khoa Học - Đại học Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Ngô Văn Định, ngườiđã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luậnvăn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Đào tạo, các thầycô giáo dạy cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, trườngĐại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ tôi trong suốtquá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, ngườithân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trongquá trình học tập và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Hồng Thương iiiMở đầu Một số tự nhiên n được gọi là số cân bằng với hệ số cân bằng r nếunó là nghiệm của phương trình Diophant 1 + 2 + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r).Khái niệm về số cân bằng được tìm ra và nghiên cứu đầu tiên bởiBehera và Panda. Sau đó, rất nhiều tính chất đẹp của số cân bằng đượctìm thấy (xem [1]). Năm 2012, Keskin và Karaatli [4] đã tìm ra mộtsố tính chất mới của số cân bằng, số tam giác chính phương. Bên cạnhviệc nghiên cứu các tính chất của số cân bằng, nhiều nhà toán họccũng đã nghiên cứu việc sử dụng các số cân bằng để giải một số dạngphương trình Diophant. Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại một số tínhchất mới của số cân bằng, số tam giác chính phương và một số kết quảvề việc sử dụng số cân bằng, số Pell, số Lucas cân bằng trong việc giảiphương trình Diophant.Cấu trúc của luận văn Luận văn được trình bày thành 2 chương: 1 • Chương 1. Một số tính chất mới của số cân bằng. Mục đích củaChương này là giới thiệu sơ lược về số cân bằng, số tam giác chínhphương và trình bày lại kết quả của Keskin và Karaatli [4]. • Chương 2. Một số phương trình Diophant liên quan đến số cânbằng. Mục đích của Chương này là trình bày lại một số kết quả vềphương trình Diophant có liên quan đến số cân bằng. Tài liệu thamkhảo chính của chương này là [2, 3]. 2Chương 1Một số tính chất của số cân bằng Chương này trình bày các khái niệm về số cân bằng, số đối cânbằng, số tam giác, số tam giác chính phương và một số tính chất củasố cân bằng được trình bày trong tài liệu [4].1.1 Khái niệm về số cân bằngĐịnh nghĩa 1.1.1. Số nguyên dương n được gọi là số cân bằng nếu 1 + 2 + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) (1.1)với một số nguyên dương r nào đó. Ở đây r được gọi là hệ số cân bằngứng với số cân bằng n.Ví dụ 1.1.2. Các số 6, 35 và 204 là các số cân bằng với các hệ số cânbằng lần lượt là 2, 14 và 84.Mệnh đề 1.1.3. Nếu n là một số cân bằng với hệ số cân bằng tươngứng là r thì (n + r)(n + r + 1) n2 = (1.2) 2và do đó √ −(2n + 1) + 8n2 + 1 r= (1.3) 2 3Chứng minh. Từ (1.1), ta có 1 + 2 + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) (n − ...