Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ninoid và đại số binoid

Luận văn bao gồm 2 chương: Chương 1 - Tìm hiểu về binoid, đồng cấu binoid, tập sinh binoid, một số lớp binoid đặc biệt, tích smash, tác động binoid trên tập định điểm, địa phương hóa và iđêan trong binoid giao hoán. Chương 2 - Tìm hiểu về đại số và đại số binoid, iđêan trong đại số binoid, cấu trúc mô đun của đại số. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ninoid và đại số binoid TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU HOÀNG ANHBINOID VÀ ĐẠI SỐ BINOID LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU HOÀNG ANHBINOID VÀ ĐẠI SỐ BINOID Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 84.60.104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2020Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Tôi không saochép từ bất kỳ một công trình nghiên cứu nào khác. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 6 năm 2020 Người viết luận văn Lưu Hoàng Anh Xác nhận Xác nhận của trưởng khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học TS. Trần Nguyên An iLời cảm ơn Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Trần NguyênAn - giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên.Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tôicách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túcvà đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toánhọc và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, độngviên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên,Khoa Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôihọc tập. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, người thân đã giúp đỡ, độngviên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn cũng như khóa học củamình. Thái nguyên, ngày 10 tháng 6 năm 2020 Người viết Luận văn Lưu Hoàng Anh iiMục lục Chương 1. Binoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Binoid và đồng cấu binoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Tập sinh binoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Một số lớp binoid đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Quan hệ tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5. Tích smash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6. Tác động của binoid trên tập định điểm . . . . . . . . . . . . . 22 1.7. Địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.8. Iđêan trong binoid giao hoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chương 2. Đại số binoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1. Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2. Đại số binoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3. Iđêan trong đại số binoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4. R[N]–môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5. Đại số binoid của N -binoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 iiiMỞ ĐẦU Năm 2015, Simone Bottger trong luận án tiến sĩ của mình “Monoids withabsorbing elements and their associated algebras” [3] đã giới thiệu khái niệmbinoid và đại số binoid mở rộng, khái niệm vị nhóm, đại số vị nhóm: Cho R làvành giao hoán, cho M là một vị nhóm với phép cộng. Phần tử a ∈ M thỏa mãna + b = a, với mọi b ∈ M được gọi là phần tử hút (absorbing element). Phần tửnhư vậy nếu tồn tại là duy nhất và được ký hiệu là ∞. Một vị nhóm có phần tửhút được gọi là một binoid. Đại số kết hợp với binoid được gọi là đại số binoidcủa M, ký hiệu là R[M ] và được xác định là đại số thương R[M ] := RM/(X ∞ ), RX a là đại số vị nhóm, (X ∞ ) là iđêan của RM sinh bởi Ltrong đó RM = a∈MX ∞ . Như vậy, đại số binoid là mở rộng của đại số vị nhóm. Đại số binoid là vànhthương của đại số đa thức bởi iđêan đơn thức hoặc iđêan nhị thức sinh bởi cácnhị thức thuần túy (pure difference binomial). Nhắc lại giả sử S = R [x1 , . . . , xn ] ,n ≥ 1 là vành đa thức, đa thức dạng xa11 xa22 ...xann , ai ∈ N, i = 1, n được gọi là mộtđơn thức, đa thức dạng axa11 xa22 ...xann − bxb11 xb22 ...xbnn ; a, b ∈ R, ai , bi ∈ Nđược gọi là một nhị thức, nhị thức mà a, b ∈ {0; 1} gọi là nhị thức thuần túy.Các đại số binoid là đối tượng chính trong Tổ hợp, Đại số giao hoán và hình họcđại số. Các đại số phải kể đến là: Vành tọa độ của đa tạp affin (xạ ảnh), vànhStanley-Reisner, vành Toric. 1 ...