Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lai ghép tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động

Đề tài nghiên cứu có cấu trúc gồm 2 chương trình bày bài toán điểm bất động, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng; phương pháp lai nghiệm chung của bài toán điểm bất động, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lai ghép tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN THỊ HIỂN PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉPTÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG, BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN THỊ HIỂN PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉPTÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG, BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy THÁI NGUYÊN - 2019 iiiMục lụcBảng ký hiệu và các chữ viết tắt 1Mở đầu 2Chương 1. Bài toán điểm bất động, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng 5 1.1 Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Toán tử chiếu trong không gian Hilbert . . . . . . . . . 6 1.1.3 Bài toán điểm bất động (FP) . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân (VI) . . . . . . . . . 10 1.3 Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Song hàm đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Bài toán cân bằng (EP) . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Chương 2. Phương pháp lai ghép tìm nghiệm chung của bài toán điểm bất động, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng 19 2.1 Phương pháp lai ghép trong không gian Hilbert . . . . . . . . 19 2.1.1 Nửa nhóm ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2 Phương pháp lai ghép . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.1 Định lý hội tụ mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 iv 2.2.2 Một số hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Kết luận 36Tài liệu tham khảo 37 1Bảng ký hiệu và các chữ viết tắtR Tập hợp các số thựcR+ Tập hợp các số thực không âmRn Không gian vec tơ thực Euclide n chiềuN∗ Tập hợp các số tự nhiên khác khôngH Không gian Hilbert thực∅ Tập rỗngD(A) Miền xác định của toán tử AR(A) Miền ảnh của toán tử AA−1 Toán tử ngược của toán tử AI Toán tử đồng nhấtC[a, b] Không gian các hàm liên tục trên đoạn [a, b]lim supn→∞ xn Giới hạn trên của dãy số {xn }lim inf n→∞ xn Giới hạn dưới của dãy số {xn }xn → x0 Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x0xn * x0 Dãy {xn } hội tụ yếu tới x0arg min{f (x) : x ∈ C} Phần tử cực tiểu hàm f trên CFix(T ) Tập điểm bất động của ánh xạ TEP Bài toán cân bằng (Equilibrium Problem)VI Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem)FP Bài toán điểm bất động (Fixed Point Problem) 2Mở đầu Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thựcH, G : C × C → R là song hàm thỏa mãn tính chất cân bằng G(x, x) = 0với mọi x ∈ C. Xét bài toán Tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho G(x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C, (1)ký hiệu là EP(G, C). Bài toán (1) được Nikaido và Isoda đề xuất lần đầutiên vào năm 1955 nhằm tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash (xem [14]).Năm 1972 nó được Ky Fan nghiên cứu dưới dạng bất đẳng thức minimax(xem [8]). Tên gọi bài toán cân bằng được các tác giả Muu và Oettli đưa ravào năm 1992 (xem [13]). Điểm lý thú của bài toán cân bằng EP(G, C) lànó bao hàm nhiều bài toán riêng lẻ khác nhau, chẳng hạn bài toán bất đẳngthức biến phân, bài toán điểm bất động v.v. . . Chẳng hạn, nếu ta chọn G(x, y) := hA(x), y − xi, A : C → C là một ánh xạ (2)thì bài toán cân bằng (1) sẽ trở thành bài toán Tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho hA(x∗ ), y − x∗ i ≥ 0, ∀y ∈ C. (3)Đây là bài toán bất đẳng thức biến phân, với ánh xạ giá A và tập ràng buộcC, ký hiệu là VI(A, C). Nếu ánh xạ A : C → C được xác định bởi A(x) := x − T (x), (4)ở đây T : C → C là một ánh xạ thì bài toán bất đẳng thức biến phânVI(A, C) được đưa về bài toán điểm bất động FP(T, C): Tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho x∗ = T (x∗ ). (5) 3Các phương pháp giải và các kết quả nghiên cứu của bài toán điểm bất động,bài toán bất đẳng thức biến phân v.v. . . có thể được mở rộng và tổng quáthóa để áp dụng trở lại giải bài toán cân bằng. Các nghiên cứ ...