Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lưới giải bài toán song điều hòa trong miền tròn và ứng dụng

Mục tiêu nghiên cứu chính của luận văn là tìm hiểu về mô hình toán học của bài toán song điều hòa, các phương pháp phân rã và đặc biệt là nghiên cứu các phương pháp sai phân bài toán trên miền tròn sử dụng hệ trục tọa độ cực, xây dựng các thuật toán giải hệ các phương trình sai phân thông qua các thuật toán giải các hệ phương trình đại số tuyến tính. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lưới giải bài toán song điều hòa trong miền tròn và ứng dụng ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN QUANG HẢI PHƯƠNG PHÁP LƯỚI GIẢI BÀI TOÁN SONG ĐIỀU HÒA TRONG MIỀN TRÒN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Vũ Vinh Quang THÁI NGUYÊN - 2016 i MỤC LỤC Trang Mục lục ....................................................................................................... i Danh mục các bảng .................................................................................... ii Mở đầu ........................................................................................................ 1 Chương 1: Một số kiến thức cơ bản .......................................................... 3 1.1 Lý thuyết về sai phân.............................................................................. 3 1.2 Công thức Taylor.................................................................................... 3 1.3 Các phương pháp sai phân và đạo hàm ................................................... 5 1.4 Phương trình song điều hòa .................................................................... 10 1.4.1 Dạng tổng quát .................................................................................... 10 1.4.2 Phương pháp phân rã ........................................................................... 11 1.5 Hệ tọa độ cực ......................................................................................... 12 1.5.1 Một số khái niệm cơ bản...................................................................... 12 1.5.2 Biểu diễn các bài toán biên 2 chiều trong hệ tọa độ cực ....................... 13 1.6 Phương pháp truy đuổi 3 đường chéo ..................................................... 14 1.6.1 Hệ truy đuổi 3 đường chéo .................................................................. 14 1.6.2 Thuật toán truy đuổi phải ..................................................................... 15 1.6.3 Thuật toán truy đuổi trái ...................................................................... 16 Chương 2: Phương pháp giải trực tiếp nhanh phương trình song điều hòa trên miền hình tròn ............................................................................. 20 2.1 Đặt vấn đề .............................................................................................. 20 2.2 Giới thiệu phương pháp .......................................................................... 22 2.2.1 Công thức khai triển Fourier chặt cụt ................................................... 23 2.2.2 Phương pháp sai phân .......................................................................... 24 2.3 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính ......................................... 27 2.4 Thuật toán .............................................................................................. 30 2.5 Một số kết quả thực nghiệm ................................................................... 31 Chương 3: Một số kết quả mở rộng cho phương trình Navier – Stokes trên miền tròn ............................................................................................. 34 3.1 Dạng bài toán tổng quát .......................................................................... 34 3.2 Hệ phương trình sai phân theo thời gian ................................................. 36 3.3 Hệ sai phân theo không gian ................................................................... 37 3.4 Kết quả thực nghiệm .............................................................................. 38 Kết luận....................................................................................................... 40 Tài liệu tham khảo ..................................................................................... 41 Phần phụ lục ............................................................................................... 42 ii DANH MỤC CÁC BẢNG STT Tên bảng Trang 1 Bảng 1: Kết quả kiểm tra RC0000.m 8 2 Bảng 2: Kết quả kiểm tra RC0002.m 9 Bảng 3: Kết quả thực nghiệm đối với hàm nghiệm đúng 3 30 u * (r, )  (er  1)sin , N  64. Bảng 4: Kết quả thực nghiệm đối với hàm nghiệm đúng 4 30 u * (r ,  )  sinr sin , N  64. Bảng 5: Kết quả thực nghiệm đối với hàm nghiệm đúng 5 30 u * (r ,  ) r 4 cos , N  64. Bảng 6: Kết quả thực nghiệm đối với hàm nghiệm đúng 6 35  x , y, t   2e 2t /Re cos x cos y,  x , y, t   2e  2t /Re cos x cos y 1 Mở đầu Một số bài toán trong cơ học các môi trường liên tục nghiên cứu về các tấm đàn hồi qua mô hình hóa đều đưa về các bài toán biên cho phương trình song điều hòa là phương trình cấp bốn dạng đặc biệt với các hệ điều kiện biên khác nhau. Trong trường hợp khi điều kiện biên là bình thường (đủ cả điều kiện biên với hàm và đạo hàm cấp hai) đồng thời miền đang xét là miền chữ nhật, sử ...