Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vấn đề duy nhất của hàm phân hình chung nhau ba tập hợp

Năm 1929, R. Nevanlinna chứng minh hai định lí nổi tiếng về vấn đề duy nhất cho các hàm phân hình, thường được gọi là Định lý năm điểm và Định lý bốn điểm. Về sau có rất nhiều nhà toán học đã mở rộng những kết quả của Nevanlinna cho những trường hợp khác nhau: hàm phân hình chung nhau các tập điểm, kể cả bội, không kể bội,... Luận văn sẽ đi sâu nghiên cứu về vấn đề này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vấn đề duy nhất của hàm phân hình chung nhau ba tập hợp ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LẠI THANH LOANVẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU BA TẬP HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LẠI THANH LOANVẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU BA TẬP HỢP Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hướng dẫn khoa học PGS.TS.HÀ TRẦN PHƯƠNG THÁI NGUYÊN - 2016 iLời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kếtquả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trongbất kì công trình nào khác. Tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảmbảo sự trung thực và chính xác, tuân thủ các qui định về quyền sở hữutrí tuệ. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016 Tác giả Lại Thanh Loan iiLời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới PGS.TS Hà Trần Phương, người thầy tận tìnhhướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu để tôi có thể hoàn thànhluận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thểcác thầy cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên, Viện Toán học và TrườngĐại học Sư phạm Hà Nội đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quantrọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng góp quý báutrong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè những người đãgiúp đỡ và chia sẻ với tác giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thànhluận văn của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016 Tác giả Lại Thanh Loan iiiMục lụcMục lục iiiMở đầu 11 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình . . . . . . . . . 3 1.1.1. Các hàm Nevanlinna và tính chất . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Hai định lí cơ bản và quan hệ số khuyết . . . . . . 7 1.2. Hàm phân hình chung nhau ba giá trị . . . . . . . . . . . 9 1.2.1. Khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2. Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Vấn đề duy nhất của hàm phân hình chung nhau ba tập hợp 13 2.1. Hàm phân hình chung nhau ba giá trị . . . . . . . . . . . . 13 2.1.1. Chung nhau kể cả bội . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.2. Chung nhau có trọng số . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. Hàm phân hình chung nhau ba tập hợp . . . . . . . . . . . 28 2.2.1. Một số bổ đề liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2. Vấn đề duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Kết luận 45Tài liệu tham khảo 47 1Mở đầu Năm 1929, R. Nevanlinna chứng minh hai định lí nổi tiếng về vấn đềduy nhất cho các hàm phân hình, thường được gọi là Định lý năm điểmvà Định lý bốn điểm. Về sau có rất nhiều nhà toán học đã mở rộng nhữngkết quả của Nevanlinna cho những trường hợp khác nhau: hàm phân hìnhchung nhau các tập điểm, kể cả bội, không kể bội,.... Cho f là một hàm phân hình, a ∈ C ∪ {∞}. Kí hiệu E(a, f ) là tập cáckhông điểm kể cả bội của f − a, E(a, f ) là tập các không điểm phân biệtcủa f − a. Cho S ⊂ C ∪ {∞} là tập hợp các phần tử khác nhau. Kí hiệu Ef (S) = ∪a∈S E(a, f ); E f (S) = ∪a∈S E(a, f ). R. Nevanlinna đã chứng minh, nếu hai hàm phân hình khác hằng f , gthỏa mãn E (ai , f ) = E (ai , g) ∀i = 1, 5,trong đó ai là các giá trị phân biệt, thì f và g phải trùng nhau. Vào năm 1976, H. Yi ([15]) đã đặt ra câu hỏi: Có thể tìm thấy haykhông ba tập hữu hạn Sj (j = 1, 2, 3) sao cho bất kì hai hàm phân hìnhthỏa mãn E (Sj , f ) = E (Sj , g) với j = (1, 2, 3) thì f ≡ g?. Vào năm 1994,H. Yi ([15]) đã đưa ra một số kết quả để trả lời cho câu hỏi đặt ra. Với mục đích tìm hiểu một số kết quả nghiên cứu theo hướng này, chúngtôi chọn đề tài Vấn đề duy nhất của hàm phân hình chung nhauba tập hợp. Mục đích chính của luận văn là trình bày lại một số kếtquả nghiên cứu của H. Yi ([16], [20]), W. C. Lin và H. Yi ([6]) về các điềukiện xác định duy nhất hàm phân hình chung nhau ba giá trị, ba tập hợp.Luận văn chia thành hai chương: 2 Chương 1: Một số kiến thức cơ bản, trình bày những kiến thức cơ sở,cần thiết cho việc chứng minh những kết quả trong Chương 2 như: lýthuyết phân bố giá trị Nevanlinna cho hàm phân hình chung nhau ba giátrị, ba tập hợp. Chương 2: Vấn đề duy nhất của hàm phân hình chung nhau ba tậphợp, trình bày về hàm phân hình chung nhau ba giá trị kể cả bội và chungnhau có trọng số; trình bày lại chứng minh một số điều kiện đủ về tínhduy nhất của hàm phân hình chung nhau ba tập hợp. 3Chương 1Một số kiến thức chuẩn bị1.1. Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình1.1.1. Các hàm Nevanlinna và tính chất Trong luận văn này chúng ta luôn ...