Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về tính chất đôi một nguyên tố cùng nhau

Mục đích của luận văn là trình bày lại một số kết quả về giả thiết của Erdos cho trường hợp k=1,2,3,4 dựa trên các bài báo đã từng nghiên cứu; trình bày lại kết quả của Randell Randell về xây dựng các công thức gần đúng với sai số thích hợp để tính số bộ gồm 3 số nguyên dương nhỏ hơn số H cho trước, không nguyên tố cùng nhau từng đôi một và số bộ gồm v số nguyên dương nhỏ hơn số H cho trước, nguyên tố cùng nhau từng đôi một trên một tập hợp A xác định.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về tính chất đôi một nguyên tố cùng nhau ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN THỊ HẰNGVỀ TÍNH CHẤT ĐÔI MỘT NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN THỊ HẰNGVỀ TÍNH CHẤT ĐÔI MỘT NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. TRẦN ĐỖ MINH CHÂU THÁI NGUYÊN - 2018Mục lục Lời nói đầu 1 os về k số nguyên tố cùng nhau từng đôi một 31 Giả thuyết Erd¨ 1.1 Chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Về các số nguyên tố cùng nhau từng đôi một . . . . . . . . . . 6 1.3 Giả thuyết Erd¨os về k số nguyên tố cùng nhau từng đôi một . 9 1.4 Giả thuyết Erd¨os với k = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Bộ các số nguyên tố cùng nhau từng đôi một 19 2.1 Bộ ba số không nguyên tố cùng nhau từng đôi một . . . . . . 19 2.2 Bộ các số nguyên tố cùng nhau từng đôi một . . . . . . . . . 26 Kết luận 44Tài liệu tham khảo 45 1Mở đầu Cho A là tập con của tập tích Đề Các {1, . . . , k}2 . Bộ (a1 , . . . , ak ) ∈ Zkđược gọi là nguyên tố cùng nhau từng đôi một trên A nếu gcd(ai , aj ) = 1với mọi (i, j) ∈ A. Trong trường hợp gcd(ai , aj ) = 1 với mọi 1 ≤ i < j ≤ k,bộ (a1 , . . . , ak ) ∈ Zk được gọi là nguyên tố cùng nhau từng đôi một. Nếugcd(ai , aj ) 6= 1 với mọi 1 ≤ i < j ≤ k thì ta nói (a1 , . . . , ak ) không nguyêntố cùng nhau từng đôi một. Tính chất nguyên tố cùng nhau từng đôi một cóvai trò quan trọng trong lý thuyết số. Nó là giả thiết không thể thiếu trongĐịnh lý phần dư Trung Hoa nổi tiếng được chứng minh cách đây 750 năm(xem [11]). Cho đến nay, Định lý này vẫn được áp dụng rất nhiều trong cáclĩnh vực khác nhau của toán học hiện đại như nhân đồng dư; tính toán bắccầu; lý thuyết mã hóa và mật mã ... (xem [6]). Ngày nay, việc tính toán cácbộ nguyên tố cùng nhau từng đôi một là rất cần thiết để xác định được sốcác bộ không nguyên tố cùng nhau từng đôi một (xem [8], [14]). Chính vìcác lý do này, tôi đã chọn đề tài Về tính chất đôi một nguyên tố cùngnhau. Mục đích thứ nhất của luận văn là trình bày lại một số kết quả về giảthuyết của Erd¨os cho trường hợp k = 1, 2, 3, 4, dựa theo các bài báo [3] và [4].Giả thuyết phát biểu rằng, số lớn nhất các số nguyên dương không vượt quásố nguyên dương n, sao cho từ các số này không thể trích ra k + 1 số nguyênnguyên tố cùng nhau từng đôi một đúng bằng số các số nguyên dương khôngvượt quá n và là bội của ít nhất một trong k số nguyên tố đầu tiên. Mục đích thứ hai của luận văn là trình bày lại kết quả của Randell 1Heyman trong bài báo [9] về xây dựng các công thức gần đúng với sai sốthích hợp để tính số bộ gồm ba số nguyên dương nhỏ hơn số H cho trước,không nguyên tố cùng nhau từng đôi một và số bộ gồm v số nguyên dươngnhỏ hơn số H cho trước, nguyên tố cùng nhau từng đôi một trên một tập Axác định. Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 2 chương. Chương 1 trìnhbày một số bài toán liên quan đến các số nguyên tố cùng nhau từng đôi mộtvà chứng minh khẳng định cho giả thuyết của Erd¨os trong các trường hợpk ≤ 4. Chương 2 trình bày kết quả và chứng minh chi tiết các công thức tínhgần đúng các bộ số nguyên dương nhỏ hơn số H và không nguyên tố cùngnhau từng đôi một hoặc nguyên tố cùng nhau từng đôi một trên một tập Adựa trên lý thuyết đồ thị và một số công cụ giải tích. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên, dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo TS. Trần Đỗ Minh Châu.Cô đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc củatôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tớicô. Tôi xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy, cô giáo trong Khoa Toán- Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình hướngdẫn, truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian theo học, thực hiện và hoànthành luận văn. Tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân và các đồng nghiệp đãgiúp đỡ, động viên tôi để tôi hoàn thành luận văn này. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2018 Người viết luận văn Nguyễn Thị Hằng 2Chương 1 os về k số nguyên tốGiả thuyết Erd¨cùng nhau từng đôi một Mục tiêu của chương 1 là trình bày câu trả lời khẳng định cho giả thuyếtcủa P. Erd¨os về k số nguyên tố cùng nhau từng đôi một khi k ≤ 4. Hai tiếtđầu dành để nhắc lại khái niệm và một số tính chất cơ bản của ước, bội, ướcchung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất và một số bài toán về các số nguyên tốcùng nhau từng đôi một. Trong hai tiết tiếp theo, chúng tôi trình bày chi tiếtchứng minh cho giả thuyết của Erd¨os khi k = 1, 2, 3.1.1 Chuẩn bị Trong tiết này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bảnvề ước, bội, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của các số nguyên, kháiniệm các số nguyên tố cùng nhau từng đôi một để tiện cho việc theo dõi cácnội dung phía sau.Định nghĩa 1.1.1. Giả sử a và b là hai số nguyên, b 6= 0. Ta nói b chia hếta hay a chia hết cho b nếu tồn tại số nguyên q sao cho a = bq. Khi ấy ta còn ...