Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về tính chia hết của các số Fibonacci suy rộng

Dãy số Fibonacci được định nghĩa bởi phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất Fn+2 = Fn+1 + Fn, n ≥ 0, với điều kiện ban đầu F0 = F1 = 1. Khái niệm về dãy Fibonacci được mở rộng theo nhiều cách khác nhau. Mục đích của luận văn này là trình bày lại một số kết quả về một số dãy Fibonacci {xn} suy rộng xác định bởi xn+2 = pxn+1 + qxn, n ≥ 0, với x0 = a, x1 = b, trong đó p, q, a, b là các số nguyên không âm.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về tính chia hết của các số Fibonacci suy rộng ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN QUYÊNVỀ TÍNH CHIA HẾT CỦA CÁC SỐ FIBONACCI SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN QUYÊNVỀ TÍNH CHIA HẾT CỦA CÁC SỐ FIBONACCI SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên - 2017Mục lụcLời cảm ơn iiMở đầu 1Chương 1 . Dãy Fibonacci suy rộng 3 1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 . . . . . . . . . 3 1.2 Định nghĩa dãy Fibonacci suy rộng . . . . . . . . . . . 6 1.3 Một số tính chất của dãy Fibonacci suy rộng . . . . . . 7Chương 2 . Tính chia hết của các số Fibonacci suy rộng 14 2.1 Kết quả của Hoggatt và Long . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Kết quả của Aoki và Sakai . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 So sánh với kết quả của Kôzaki và Nakahara . . . . . . 33Kết luận 37Tài liệu tham khảo 38 iLời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa Học - Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Ngô Văn Định, Trường Đạihọc Khoa Học - Đại học Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Ngô Văn Định, ngườiđã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luậnvăn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Đào tạo, các thầycô giáo dạy cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, trườngĐại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ tôi trong suốtquá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, ngườithân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trongquá trình học tập và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2017 Tác giả Nguyễn Văn Quyên iiMở đầu Dãy số Fibonacci {Fn } là dãy số được rất nhiều người biết đến,quan tâm và nghiên cứu. Có rất nhiều tính chất thú vị của dãy số nàyđã được tìm ra. Dãy số Fibonacci được định nghĩa bởi phương trình saiphân tuyến tính cấp hai thuần nhất Fn+2 = Fn+1 + Fn , n ≥ 0,với điều kiện ban đầu F0 = F1 = 1. Khái niệm về dãy Fibonacci đượcmở rộng theo nhiều cách khác nhau. Mục đích của luận văn này là trìnhbày lại một số kết quả về một số dãy Fibonacci {xn } suy rộng xác địnhbởi xn+2 = pxn+1 + qxn , n ≥ 0,với x0 = a, x1 = b, trong đó p, q, a, b là các số nguyên không âm. Đầu tiên, Luận văn trình bày lại kết quả của Panwar, Singh và Gupta[9] về một số tính chất thú vị của hai dãy Fibonacci suy rộng {Vn } và{Un } được xác định bởi Vn+2 = Vn+1 + 2Vn , n ≥ 0, với V0 = 2, V1 = 2,và Un+2 = Un+1 + 2Un , n ≥ 0, với U0 = 2, U1 = 0. 1Tiếp theo, Luận văn trình bày một số kết quả của Hoggatt và Long [4]về dãy Fibonacci suy rộng {un } được xác định bởi phương trình saiphân un+2 = pun+1 + qun , n ≥ 0, với u0 = 0, u1 = 1,trong đó p, q là hai số nguyên dương. Cuối cùng, Luận văn trình bày lạicác kết quả của Aoki và Sakai [2, 3] về dãy Fibonacci suy rộng {Gn }xác định bởi Gn+2 = Gn+1 + Gn , n ≥ 1, với G1 = a, G2 = b,trong đó a, b là hai số nguyên.Cấu trúc của luận văn Luận văn được trình bày thành 2 chương: • Chương 1: Dãy Fibonacci suy rộng. Trong chương này, chúng tôitrình bày sơ lược về lý thuyết về phương trình sai phân tuyến tính cấphai thuần nhất; khái niệm về dãy Fibonacci suy rộng và các kết quảcủa Panwar, Singh và Gupta [9]. • Chương 2: Tính chia hết của các số Fibonacci suy rộng. Chươngnày trình bày về một số kết quả của Hoggatt và Long [4]; các kết quảcủa Aoki và Sakai [2, 3]. 2Chương 1Dãy Fibonacci suy rộng Trong chương mở đầu này, chúng tôi trình bày sơ lược về phươngtrình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất đặc biệt là về nghiệm củaphương trình trong trường hợp phương trình đặc trưng có hai nghiệmphân biệt. Sau đó, chúng tôi trình bày khái niệm về dãy Fibonacci suyrộng và các kết quả của Panwar, Singh và Gupta [9] về hai trường hợpriêng của dãy Fibonacci suy rộng.1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 Trong mục này, chúng tôi nhắc lại khái niệm về phương trình saiphân tuyến tính cấp hai thuần nhất và đặc biệt chúng tôi trình bày vềcông thức nghiệm của phương trình này trong trường hợp đa thức đặctrưng có hai nghiệm phân biệt. Đây là những kiến thức cần thiết chocác nội dung của các phần sau trong Luận văn. Nội dung về phươngtrình sai phân chúng tôi tham khảo trong tài liệu [7].Định nghĩa 1.1. Phương trình có dạng un+2 = Aun+1 + Bun , n = 1, 2, ..., (1.1) 3trong đó A, B là các hằng số, được gọi là phương trình sai phân tuyếntính cấp hai thuần nhất. Để tìm nghiệm của phương trình sai phân (1.1), chúng ta xét phươngtrình bậc hai α2 − Aα − B = 0. ...