Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về tổng Gauss và một số ứng dụng

Tổng Gauss là một loại tổng gồm hữu hạn căn của đơn vị. Gauss nghiên cứu tổng Gauss bậc hai, và ứng dụng chúng trong nghiên cứu về luật thuận nghịch bậc hai. Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu tổng Gauss bậc hai và một số ứng dụng liên quan. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về tổng Gauss và một số ứng dụng ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN THỊ GIANG VỀ TỔNG GAUSSVÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNGLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN THỊ GIANG VỀ TỔNG GAUSSVÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNGChuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Nguyễn Duy Tân THÁI NGUYÊN - 2019 iMục lụcMở đầu 1Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 2 1.1 Ký hiệu Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Một số kiến thức chuẩn bị khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Chương 2. Tổng Gauss bậc hai 10 2.1 Giá trị tuyệt đối của tổng Gauss bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Dấu của tổng Gauss bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Mở rộng lên modulo hợp số lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Chương 3. Một vài ứng dụng của tổng Gauss 26 3.1 Luật thuận nghịch bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Một số bài toán lượng giác liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Kết luận 34Tài liệu tham khảo 35 1Mở đầu Tổng Gauss là một loại tổng gồm hữu hạn căn của đơn vị. Gauss nghiên cứutổng Gauss bậc hai, và ứng dụng chúng trong nghiên cứu về luật thuận nghịchbậc hai. Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu tổng Gauss bậc hai và một số ứng dụngliên quan. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, bố cục của luận vănđược chia làm ba chương. Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Chương 2. Tổng Gauss bậc hai. Chương 3. Một vài ứng dụng của tổng Gauss. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2019 Người viết luận văn Nguyễn Thị Giang 2Chương 1Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cần thiết trong quátrình xây dựng định nghĩa tổng Gauss như khái niệm ký hiệu Legendre, định lýEuler, định lý Fermat, căn nguyên thủy, thặng dư bậc hai, . . . . Các kiến thứctrong phần này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [3].1.1 Ký hiệu LegendreĐịnh nghĩa 1.1.1 ([3]). Nếu a, b, m ∈ Z và m 6= 0, ta nói rằng a đồng dư vớib modulo m nếu m là ước của b − a. Mối quan hệ này được ký hiệu bởi a ≡ b(mod m). Kí hiệu a 6≡ b (mod m) có nghĩa là a không đồng dư với b modulo m. Ví dụ, vì 4 | 25 − 1, ta có 25 ≡ 1 (mod 4). Vì 6 | 4 − 10, ta có 4 ≡ 10 (mod 6).Vì 7 | 10 − (−4), ta có 10 ≡ −4 (mod 7). Vì 5 - −7 − 2, ta có −7 6≡ 2 (mod 5).Định nghĩa 1.1.2 ([3]). Ta nói rằng hai số nguyên a và b là nguyên tố cùngnhau nếu ước chung duy nhất của chúng là ±1.Định nghĩa 1.1.3 ([3]). Cho n ∈ Z+ , hàm φ Euler được định nghĩa là φ(n) bằngsố số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n mà là nguyên tố cùng nhau với n, tứclà φ(n) = |{x ∈ Z : 1 ≤ x ≤ n, (x, n) = 1}|. Ví dụ, φ(1) = 1, φ(5) = |{1, 2, 3, 4}| = 4, φ(6) = |{1, 5}| = 2, và φ(9) = |{1, 2, 4, 5,7, 8}| = 6. Nếu p là số nguyên tố thì rõ ràng tất cả các số 1, 2, . . . , p−1 đều nguyêntố cùng nhau với p nên φ(p) = p − 1. 3Định lý 1.1.4 (Định lý Euler, [3]). Cho a, m ∈ Z với m > 0. Nếu (a, m) = 1 thìaφ(m) ≡ 1 (mod m).Chứng minh. Gọi r1 , r2 , . . . , rφ(m) là φ(m) số nguyên dương khác nhau không lớnhơn m sao cho (ri , m) = 1, i = 1, 2, . . . , φ(m). Xét φ(m) số nguyên r1 a, r2 a, . . . , rφ(m) a.Chú ý rằng (ri a, m) = 1, i = 1, 2, . . . , φ(m). (Nếu (ri a, m) > 1 với i nào đó thì tồntại ước nguyên tố p của (ri a, m) và p | ri a và p | m. Bây giờ p | ri a kéo theo p | rihoặc p | a nên hoặc ta có p | ri và p | m hoặc ta có p | a và p | m, các điều này làkhông thể vì (ri , m) = 1 và (a, m) = 1.) Ngoài ra, chú ý rằng không có hai số nàotrong dãy số r1 a, r2 a, . . . , rφ(m) a đồng dư với nhau. (Vì (a, m) = 1, tồn tại nghịchđảo của a modulo m, ký hiệu là a0 . Do đó, nếu ri a ≡ rj a (mod m) với i 6= j thìri aa0 ≡ rj aa0 (mod m), điều này là không thể). Nên các thặng dư không âm nhỏnhất modulo m của các số nguyên r1 a, r2 a, . . . , rφ(m)a sắp theo thứ tự tăng dầnlà r1 , r2 , . . . , φ(m). Khi đó, ta có (r1 a)(r2 a) · ...