Luận văn Thạc sĩ Toán ứng dụng: Giải bài toán Cauchy cho một số phương trình đạo hàm riêng bằng mạng neural nhân tạo

Đề tài: "Giải bài toán Cauchy cho một số phương trình đạo hàm riêng bằng mạng neural nhân tạo", với mong muốn sử dụng mạng neuron nhân tạo kết hợp với chỉnh hóa Tikhonov để giải quyết bài toán này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán ứng dụng: Giải bài toán Cauchy cho một số phương trình đạo hàm riêng bằng mạng neural nhân tạo BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ———————————— VĂN BÁ CÔNGGIẢI BÀI TOÁN CAUCHY CHO MỘT SỐPHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẰNG MẠNG NEURAL NHÂN TẠO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN ỨNG DỤNG HÀ NỘI - 2023 MỤC LỤCMỞ ĐẦU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1. Định nghĩa các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 1.2. Bài toán Cauchy cho phương trình loại elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Bài toán Cauchy cho phương trình loại parabolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.4. Bài toán đặt không chỉnh và lý thuyết chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 1.5. Chọn tham số chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.1. Phương pháp hậu nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.2. Phương pháp L-curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6. Tổng quan về mạng neuron nhân tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6.1. Sigmoid Neurons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6.2. Mạng neuron nhân tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6.3. Phương pháp Gradient ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6.4. Lan truyền ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6.5. Định lý xấp xỉ phổ quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20CHƯƠNG 2. GIẢI BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNHĐẠO HÀM RIÊNG BẰNG CHỈNH HÓA TIKHONOV VỚI MẠNGNEURON NHÂN TẠO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1. Áp dụng chỉnh hóa Tikhonov cho bài toán Cauchy trong phương trìnhelliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. Áp dụng chỉnh hóa Tikhonov cho bài toán Cauchy trong phương trìnhparabolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3. Thuật toán huấn luyện mạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4. Phân tích hội tụ cho xấp xỉ ANN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4.1. Trù mật và m-trù mật của ANN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4.2. Tính trù mật của Al (σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.3. Tính m - trù mật của Al (σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.4. Sự tương đương giữa bài toán (0.2) và (2.11) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5. Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36CHƯƠNG 3. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1. Ví dụ cho bài toán tuyến tính 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2. Ví dụ cho bài toán tuyến tính 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3. Ví dụ cho bài toán phi tuyến 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4. Ví dụ cho bài toán phi tuyến 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.5. Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.6. Lan truyền ngược với ANN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7. Lan truyền ngược đạo hàm cấp 1 với ANN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83 3.8. Lan truyền ngược đạo hàm cấp 2 với ANN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 3.9. Lan truyền ngược cho điều kiện biên Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.10. Lan truyền ngược cho phương trình trạng thái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂNR Tập hợp các số thực;Rn Không gian Euclid n chiều;Ω Tập mở trong Rn ;Γ Tập con của ∂Ω;C 2 (Ω) Không gian các hàm có đạo hàm liên tục cấp hai trên Ω;X, Y Không gian định chuẩn (hoặc Hilbert) X, Y ;R(A) Miền giá trị của toán tử A;∥A∥ Chuẩn của toán tử A;A∗ Toán tử liên hợp của toán tử A;L Toán tử tuyến tính;I Toán tử đơn vị;Rα Toán tử chỉnh hóa;α Tham số chỉnh hóa;ANN Mạng neuron nhân tạo (Artificial Neural Network);w Trọng số (weights);b Độ lệch (b ...