LÝ THUYẾT & BÀI TẬP TOPO

Cho không gian Tôpô ( , ) 1. Nếu 2. Nếu ⊂ ⊂ có tập con liên thông B trù mật ( ⊂ ) thì A liên thông. liên thông ∀ ∈ và ⋂ ∈ ≠ ∅ thì ⋃ ∈ liên thông.3
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
LÝ THUYẾT & BÀI TẬP TOPO BÀI SOẠN LÝ THUYẾT & BÀI TẬP LỚP CAO HỌC GIẢI TÍCH – KHÓA 19 – CẦN THƠ Biện soạn theo giáo trình Topo Đại Cương của PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY (Tài liệu mang nh chất tham khảo – h p://nguyenchiphuong.WordPress.com)A .LÝ THUYẾT§3. Định lý 1.1: Cho không gian Tôpô ( , )1. Nếu ⊂ có tập con liên thông B trù mật ( ⊂ ) thì A liên thông.2. Nếu ⊂ liên thông ∀ ∈ và ⋂ ∈ ≠ ∅ thì ⋃ ∈ liên thông.3. Giả sử A có nh chất: “hai điểm bất kỳ của A luôn được chứa trong một tập con liên thông của A”.Khi đó A liên thông.4. Nếu X liên thông và : → ′ liên tục thì ( ) liên thông.Lưu ý:  Theo bổ đề 1.1 thì nếu với mọi ánh xạ bất kỳ đi từ ( , ) vào với = { , } là không gian Tôpô rời rạc mà không liên tục thì tương đương với A là tập liên thông. Do đó ta chỉ đi xét trường hợp một ánh xạ bất kỳ đi từ ( , ) vào liên tục và khảo sát sự liên thông của tập A  f là ánh xạ hằng trên A thì A liên thôngChứng minh:Gọi ={ , } là không gian Tôpô rời rạc1. Nếu ⊂ có tập con liên thông B trù mật ( ⊂ ) thì A liên thông.Thật vậy:Xét ánh xạ : ( , )→ liên tục.Do ⊂ nên ∃ | : ( , )→ liên tục, mà liên thông nên | là ánh xạ hằng trên B⇒ ( )= ,∀ ∈Lại có B trù mật trong A nên ∀ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∃{ }⊂ : →Mà liên tục nên ( ) → ( ), ∀ ∈ (1)Hơn nữa ( )= (do ∈ , ∀ ) (2)Từ (1) và (2) suy ra ( ) = ,∀ ∈ hay là ánh xạ hằng trên A nên A liên thông2. Nếu ⊂ liên thông ∀ ∈ và ⋂ ∈ ≠ ∅ thì ⋃ ∈ liên thông.Thật vậy:Xét ánh xạ : ⋃ ∈ → liên tục.1Hiển nhiên ⊂⋃∈ nên ∃ | : ( , ) → liên tục, mà liên thông nên ta có là ánh xạ { }hằng trên mỗi hay ( ) = , ∀ ∈ (3) { }Do ⋂ ∈ ≠ ∅ nên ∃ ∈⋂∈ : ( )= (4)Từ (3) và (4) suy ra ( )= { }, ∀ ∈ ⇒ (⋃ ∈ )= { } hay f là ánh xạ hằng trên ⋃ ∈Suy ra ⋃ ∈ liên thông3. Giả sử A có nh chất: “hai điểm bất kỳ của A luôn được chứa trong một tập con liên thông củaA”. Khi đó A liên thông.Thật vậy:Cố định ∈ khi đó ∀ ∈ ta gọi là tập con liên thông của A, chứa , ⇒ =⋃ ∈Mặt khác ∈⋂ ∈ nên ⋂ ∈ ≠ ∅ kết hợp với liên thôngNên áp dụng phần 2 ta có ⋃ ∈ liên thông hay A liên thông4. Nếu X liên thông và : → ′ liên tục thì ( ) liên thông.Thật vậy:Xét ánh xạ : ( ) → liên tục khi đó ánh xạ ∘ : → liên tục { }Ta có X liên thông, ∘ : → liên tục nên ∘ ( )= { } { }Mà ∘ ( ) = ( ( )) nên ( ) = ⇒ ( ) là tập một điểm hay là ánh xạ hằng { }trên ( )Suy ra ( ) liên thông§3. Định lý 2.2: Các mệnh đề sau đây tương đương(i) X là không gian compact(ii) Mọi siêu lưới trong X thì hội tụ(iii) Mọi lưới trong X có lưới con hội tụLưu ý:  Họ { : ∈ } phủ mở của X compact thì ∃ , … , : = ⋃  { } hội tụ ⇔ ∃ ∈ , ∀ ∈ , ∃ : ậ { : ≥ } ⊂  Định lý 2.1: X compact ⇔ Mọi họ có tâm gồm các tập đóng trong X thì có giao khác rỗng  Định lí 1.1: Mọi lưới trong X đều có lưới con là siêu lướiChứng minh: CM: ( ) ⇒ ( ): Cho X là không gian compact. Chứng minh mọi siêu lưới trong X thì hội tụ2Thật vậy:Dùng phản chứng: Giả sử tồn tại một siêu lưới { } không hôi tụDo { } không hội tụ nên ∀ ∈ , ∃ mở chứa x sao cho ∀ thì tập { : ≥ }⊄ (1)Do { } là siêu lưới nên ∃ sao cho tập { : ≥ }⊂ hoặc { : ≥ }⊂ \ (2)Từ (1) và (2) suy ra ∃ sao cho tập { : ≥ }⊂ \ (3)Mặt khác họ { : ∈ } phủ mở của X compact nên ∃ , … , : =⋃Chọn ≥ , ∀ = 1, thì ∉ , ∀ = 1, (do 3)Suy ra ∉⋃ = (vô lý) CM: ( ) ⇒ ( ): Cho mọi siêu lưới trong X thì hội tụ. Chứng minh mọi lưới trong X có lưới con hội tụThật vậy:Áp dụng định lí 1.1: mọi lưới trong X đều có lưới con là siêu lưới mà theo giả thiết cho mọi siêu lướitrong X thì hội tụ nên hiển nhiên lưới con đó hội tụ CM: ( ) ⇒ ( ): Cho mọi lưới trong X có lưới con hội tụ. Chứng minh X compactThật vậy:Xét họ các tập đóng { : ∈ } có nh giao hữu hạn.Đặt = { ⊂ : ℎữ ℎạ }.Ta xét thứ tự ≤ ⇔ ⊂Lập lưới { : ∈ } sao cho ∈⋂∈ và gọi { } là lưới con của { } hội tụ về aTa chứng minh ∈⋂∈Cố định ∈ do { } là lưới con của { } nên ∃ : ∀ ≥ ⟹ = với ≥ { }Suy ra ∈⋂∈ ⊂Vậy lưới { : ≥ }⊂ , hội tụ về a nên ∈ . Mà là lấy bất kỳ trong nên ∈⋂∈Hay ⋂ ∈ ≠∅Vậy mọi họ có tâm gồm các tập đóng { : ∈ } trong X có giao khác rỗng nên X compact§5. Mệnh đề 3.1: Nếu f liên tục đều thì f liên tục đối với Tôpô sinh bởi cấu trúc đềuLưu ý:  { [ ]: ∈ } là cơ sở lân cận của điểm trong tôpô sinh bởi hay [ ] là lân cận của điểm trong tôpô sinh bởi3Chứng minh:Ghi ra điều cần CM:Chứng minh liên tục đối với tôpô sinh bởi cấu trúc đều⇔ é ∈ , cho { [ ( )]: ∈ ]} là cơ sở lân cận ( ) trong tôpô sinh bởi Ta chứng minh ( [ ( )]) là lân cận của trong tôpô sinh bởiThật vậy:Xét ∈ . Theo giả thiết cho f liên tục đều ⇔ ∀ ∈ ⇒ ( )∈Suy ra { ( )[ ]: ( ...