MÔĐUN MORPHIC

Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của vành morphic và môđun. Hơn nữa một trường hợp tổng quát của vành này được xét đến đó là lớp vành-morphic. Ngoài ra chúng tôi đưa ra khái niệm-morphic môđun và đưa ra một số đặc trưng của lớp môđun.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
MÔĐUN MORPHIC Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010 MÔĐUN MORPHIC MORPHIC MODULE SVTH: Hà Thị Thu Sương Lớp 07CTT1, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm GVHD: ThS. Trương Công Quỳnh Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm TÓM TẮT Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của vành morphic và môđun. Hơ nnữa một trường hợp tổng quát của vành này được xét đến đó là lớp vành  -morphic. Ngoài rachúng tôi đưa ra khái niệm  -morphic môđun và đưa ra một số đặc trưng của lớp môđun. ABSTRACT In this topic, we study some properties of morphic ring and module. Moreover, agenerlization of this class ring is considered that is  -morphic. On the other, we consider thedefinition “  -morphic” module and give some charactorzation of this class module.1. Mở đầu Hiện nay có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu lý thuyết vành và môđun. Lýthuyết này làm phong phú thêm cho các cấu trúc cơ bản của Đại số. Một môđun trên mộttrường R là một R- không gian véctơ. Vì vậy người ta nghiên cứu R không phải là trườngvà không nhất thiết là giao hoán thì cấu trúc của R- môđun của nó như thế nào?. Một trongnhững năm vừa qua có nhiều đóng góp của lý thuyết vành và môđun. Chẳng hạn như kếtquả của Osofsky chứng tỏ một vành là nửa đơn nếu và chỉ nếu mọi môđun xyclic là nội xạ. Mặt khác một vành được xem như là một môđun hai phía. Vì vậy khi người ta đưara khái niệm về môđun nào đó thì chúng ta cũng có khái niệm vành tương ứng. Tuy nhiêncó nhiều khái niệm của vành không thể chuyển qua thành khái niệm của môđun. Nhưchúng ta được biết một kết quả của Erlich đã chỉ ra được một phần tử s  S=End(M) làchính quy đơn vị (một tự đẳng cấu  : M  M được gọi là chính quy đơn vị nếu   với  là tự đẳng cấu của M) nếu nó là chính quy (vành R được gọi là chính qui nếu mọiphần tử a của R thì tồn tại phần tử x ∈ R thỏa mãn axa = a) và M/(M)s  ker(s). Xuất pháttừ định lý này mà Nicholson và Sanchez Campos đã nghiên cứu lớp các môđun t hỏa điềukiện M/(M)s  ker(s) cho mỗi s  S=End(M). Lớp các môđun thỏa điều kiện này được gọilà Morphic. Cho R là một vành, phần tử a trong R được gọi là mophic nếu R/Ra  l(a). Vànhnày được gọi là morphic trái nếu mỗi phần tử là morphic. Và khái niệm morphic trái đượcmở rộng ra  - morphic trái. Để khắc phục vấn đề nhiều khái niệm của vành không thểchuyển qua thành khái niệm của môđun chúng tôi đưa ra một môđun M, phần tửs  End(M) được gọi là  - morphic nếu tồn tại n  N * sao cho M/ (M)sn  ker(sn). MôđunM được gọi là  - morphic nếu mỗi phần tử là  - morphic. Môđun này thỏa các tính chấtcủa vành morphic và  - morphic. 459 Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010 Trong nội dung đề tài này trước hết chúng ta làm rõ các tính chất của lớp môđunnày và đồng thời đưa ra một trường hợp tổng quát của lớp môđun này. Cụ thể được trìnhbày trong nội dung đề tài: Nội dung đề tài gồm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Về môđun Morphic Chương 3: Về môđun và vành   Morphic1.1. Chương 1. Kiến thức chẩn bị1.1.1. Một số khái niệm về Môđun a. Định nghĩa môđun Trong toàn bộ đề tài này, chúng tôi kí hiệu RM để chỉ M là R-môđun trái. Tương tựMR là R-môđun phải. b. Đồng cấu môđun b.1. Định nghĩa. Cho A và B là hai R- môđun trái. Đồng cấu  từ A vào B đó là ánh xạ  : A  B thỏa : a1 , a2  A, r1 , r2  R : (r1a1  r2 a2 )   r1 (a1 )  r2 (a2 ) . b.2. Hạt nhân, ảnh của đồng cấu môđun Cho f :R LR M , Kerf  x  L /( x) f  0M   (0M ) f 1 là hạt nhân của đồng cấu f.Khi f đơn cấu thì Kerf=0, Imf  ( x) f / x  L  ( L) f là ảnh của đồng cấu f. c. Tích và tổng của môđun1.1.2. Môđun nội xạ. Tiếp theo chúng tôi giới thiệu một số lớp môđun rất quan trọng trong lý thuyết vànhkết hợp, đó là các lớp môđun nội xạ và xạ ảnh. Môđun RU được gọi là nội xạ theo RM (hayRU là M-nội xạ) nếu với mọi R-đơn cấu ι : RN   RM và mọi R-đồng cấu f : RN    RU đều tồn tại R-đồng cấu g : RM   RU sao cho f = g · ι . Môđun RU được gọi là nội xạ nếu RU là M-nội xạ, với mọiR-môđun trái của M. Môđun xạảnh được định nghĩa một cách đối ngẫu. Một iđêan A của vành R được gọi là lũy linh phải nếu tồn tại số nguyên dương nsao cho An = 0. A được gọi là nil nếu với mỗi a  A , tồn tại số nguyên dương n sao cho an = 0.1.1.3. Các lớp vành khác. Phần tử a của vành R được gọi là chính quy nếu nó thỏa mãn các điều kiện tươngđương sau đây: i. Tồn tại phần tử x ∈ R thỏa mãn axa = a. ii. RR = aR  T với T là iđêan phải của R. iii. RR = Ra  L với L là iđêan trái của R. Vành R được gọi là chính quy nếu mọi phần tử của R đều chính quy. Cho vành R và môđun RM, tập A  M, linh hóa tử trái của A trong R được kí hiệu 460 Tuyển tập Báo cáo Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học lần thứ 7 Đại học Đà Nẵng năm 2010lR(A) hay viết gọn là l(A) và được xác định như sau : l(a) = {r∈ R/ ra = 0, (  a∈ A)} Cho R-môđun M và L là lớp các môđun con nào đó của M. Ta nói L thỏa mãn điềukiện dây chuyền tăng (ACC: ascending chain condition) nếu mọi dãy tăng A1 ≤ A2 ≤ · · · ≤An ≤ . . .các môđun thuộc L đều dừng, tức là tồn tại số nguyên dương n sao cho An = An+ivới mọi i∈N.Định lý Erlich (xem [3]). Cho  là một tự đồng cấu của M. Khi đó  là chính quy đơn vịkhi và chỉ khi  là chính quy và ...