Một số bài toán về diện tích

Tài liệu "Một số bài toán về diện tích" được biên soạn với mục đích cung cấp, củng cố kiến thức cho các em học sinh về cả lý thuyết và bài tập. Giúp các em ôn tập lại các tính chất cơ bản của diện tích đa giác, diện tích tam giác, diện tích các tứ giác,... Đồng thời cung cấp một số ví dụ minh họa để các em dễ hình dung và vận dụng giải các bài toán một cách tốt nhất. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số bài toán về diện tích450 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DIỆN TÍCH I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Các tính chất cơ bản của diện tích đa giác Mỗi đa giác có một diện tích xác định, diện tích đa giác là một số dương. Diện tích đa giác có các tính chất sau: + Hai đa giác bằng nhau có diện tích bằng nhau. + Hình vuông cạnh có độ dài bằng 1(đvđd) thì diện tích là 1(đvdt), hình vuông đó được gọi là hình vuông đơn vị. + Nếu đa giác H được chia thành các đa giác H1 ; H 2 ;...; H n đôi một không có điểm chung trong. Khi đó ta được S H = S H1 + S H2 + ... + S Hn + Nếu một đa giác H suy biến có S H = 0 thì các đỉnh của đa giác cùng nằm trên một đường thẳng. 2. Diện tích tam giác a+b+c Cho tam giác ABC có các cạnh là a, b, c và p = là nửa chu vi. Gọi h a ; h b ; h c 2 là đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c và ra ; rb ; rc là bán kính đường tròn bàng tiếp ứng với các cạnh a, b, c. Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp ta giác ABC. Khi đó ta có: 1 1 1 1) = S ABC = ah a =bh b ch 2 2 2 c 1 1 1 2) S ABC = bc.sin A = = ac sin B ab sin C 2 2 2 abc 3) S ABC = = pr = p.r 4R 4) Công thức Heron: S ABC = p ( p − a )( p − b )( p − c ) A B C p ( p − a ) tan 5) S ABC = p ( p − b ) tan = = p ( p − c ) tan 2 2 2 Chú ý : Công thức 2 và 5 chỉ áp dụng cho tam giác nhọn. 3. Diện tích các tứ giác. + Diện tích hình chữ nhật: S = ab , với a, b là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật. THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC451 h (a + b) + Diện tích hình thang: S = , với a, b là độ dài hai đáy và h là chiều cao. 2 + Diện tích hình bình hành: S = ah a , với a và h a là độ dài cạnh và đường cao tương ứng. 1 + Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc: S = d1d 2 , với d1 ,d 2 là độ dài hai 2 đường chéo. 1 + Diện tích hình thoi: = S ah = d .d , với a và h là độ dài cạnh và đường cao, d1 và 2 1 2 d 2 là độ dài hai đường chéo. 2 1 2 + Diện tích hình vuông: = S a= d , với a là độ dài cạnh và d là độ dài đường chéo 2 của hình vuông. 4. Một số tính chất cở bản về diện tích tam giác. + Nếu hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số hai đáy tương ứng bằng tỉ số hai diện tích. Ngược lại, nếu hai tam giác có cùng đáy thì tỉ số hai chiều cao tương ứng bằng tỉ số hai diện tích. + Nếu hai tam giác có cùng chung đáy và có cùng diện tích thì đỉnh thứ ba thuộc đường thẳng song song với đáy. + Đường trung bình trong một tam giác chia tam giác đó thành hai phần có diện tích tỉ lệ với 1 : 3. + Đường trung tuyến của một tam giác chia tam giác đó thành hai phần có diện tích bằng nhau. + Ba tam giác có chung đỉnh là trọng tâm của một tam giác còn đáy là ba cạnh thì có diện tích bằng nhau. + Nếu một tam giác và một hình bình hành có cùng đáy và cùng chiều cao thì diện tích tam giác bằng nửa diện tích hình bình hành. + Với mọi tam giác ABC ta luôn có AB.AC ≥ 2S ABC , dấu bằng xẩy ra khi tam giác ABC vuoog tại A.  hoặc A  = A  + A = S AB.AC + Hai tam giác ABC và A’B’C’ có A 180 0 thì ABC = S A BC A B.A C THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC452 Các tính chất nêu trên của tam giác được chứng minh tương đối đơn giản và ta sẽ công nhận chúng khi giải các bài toán về diện tích. II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA a+b+c Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có các cạnh là a, b, c và p = là nửa chu vi. Chứng minh 2 rằng: S ABC = p ( p − a )( p − b )( p − c ) Lời giải Trong một tam giác luôn tồn tại một đỉnh mà chân A đường cao hạ từ đỉnh đó nằm trên cạnh đối diện không mất tính tổng quát, ta giả sử đó là đỉnh A. Gọi AH = h là đường cao của ∆ABC . Ta có HB + HC = BC Đặt BH = x ( 0 ≤ x ≤ a ) . Từ đó ta có HC = a – x B H C ...