Một số bài toán về hệ có cấu trúc đặc biệt

Các bạn học sinh và quý thầy cô tham khảo miễn phí Một số bài toán về hệ có cấu trúc đặc biệt để hệ thống kiến thức học tập cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề thi
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số bài toán về hệ có cấu trúc đặc biệt Bài số 3. HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆTTrong những năm gần đây , đề thi đại học về Hệ phương trình đại số thường hay radạng hệ có cấu trúc khá đặc biệt . Vì vậy cho nên ta phải ngiên cứu cách giải chúng .Thông thường ta có một số phương pháp sau I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNGLà phương pháp chủ yếu dùng kỹ năng biến đổi hai phương trình của hệ đưa về cácphương trình đơn giản có thể rút x theo y hoặc ngược lại để thế vào phương trìnhkhác của hệ . Ta xét một số ví dụ sau1. Loại 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất theo ẩn x hoặc theo ẩn y. Khi đóta rút x theo y hoặc y theo x thay vào phương trình còn lại .  x 2  y  1 x  y  1  3 x 2  4 x  1 1Ví dụ 1. Giải hệ phương trình :   2  xy  y  1  x   2 GiảiTa thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình (2) cho nên từ phương trình (2)ta có : y  x  1  x 2  1  y  x  1  y  1  x thay vào phương trình (1) ta có :x 2  x  x  x   3 x 2  4 x  1   x  1  2 x 3  2 x 2  x  1   x  1 3 x  1  x  1  2 x 3  2 x 2  4 x   0  x  x  1  x 2  x  2   0  x  0; x  1; x  2  x  y  xy  2 x  y   5 xyVí dụ 2. Giải hệ phương trình :    x  y  xy  3 x  y   4 xy  GiảiTa có x=y=0 là một nghiệm của hệ . Các cặp số (x;y) với x  0, y  0; x  0, y  0 khônglà nghiệm của hệ . 1 1  x  y  2x  y  5Xét xy  0 chia hai vế phương trình cho xy  0 ta được :    1  1  3x  y  4 x y Suy ra : 5  2 x  y  4  y  3x  x  2 y  1(*) thay vào phương trình thứ hai ta có :2y-1+y+y(2y-1)(5y-3)=4(2y-1)y 3 y  1  y 10 y 2  11y  3  8 y 2  4 y  10 y 3  19 y 2  10 y  1  0   y  1 10 y 2  9 y  1  0 9  41 9  41 y  1; y  ;y 20 20  9  41 41  1   9  41  41  1 Đáp số : (x;y)= 1;1 ,   20 ; 10  ;  20 ; 10        2. Loại 2. Một phương trình của hệ đưa về dạng tích của hai phương trình bậcnhất hai ẩn . Khi đó ta dưa về giải hai hệ tương đương .  xy  x  y  x 2  2 y 2 1Ví dụ 1. Giải hệ phương trình :    x 2 y  y x  1  2 x  2 y 2  Giải Bài 3: HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆTĐiều kiện : x  0, y  1 x  yPhương trình (1)   x  y  x  2 y  1  0    x  2 y 1Ta thay làn lượt từng trường hợp một vào phương trình (2) .Giải ra kết quả 5 x5 y  4 xy 2  3 y 3  2  x  y   0 1Ví dụ 2. ( ĐH-KA-2011) . Giải hệ phương trình sau :  2 2  2  xy   y   2   x  y    2 Hướng dẫnTừ (2) ta có :  xy  1  x  y  2   0  xy  1  x 2  y 2  2 2 2  xy=1; từ (1) suy ra : y 4  2 y 2  1  0  y  1. Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;1),(- 1;-1).  Với : x 2  y 2  2  1  3 y  x 2  y 2   4 xy 2  2 x 2 y  2  x  y   0  6 y  4 xy 2  2 x 2 y  2  x  y   0  1  xy  2 y  x   0  xy  1  x  2 y Xét : xy=1 . Đã giải ở trên  2 10 10   2 10 10  Với : x=2y , thay vào x 2  y 2  2   x; y    ; ,   ;   5 5     5 5  ...