Một số định lý điểm bất động trong không gian Cauchy yếu

Bài viết Một số định lý điểm bất động trong không gian Cauchy yếu trình bày: Một kết quả mở rộng của Nguyên lý ánh xạ co Banach trong không gian Cauchy yếu. Trên cơ sở đó chứng minh được một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động cho các ánh xạ co và ánh xạ không giãn,... Mời các bạn cùng tham khảo
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số định lý điểm bất động trong không gian Cauchy yếu MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN CAUCHY YẾU TRẦN THIỆN TÍN - TRẦN QUÂN KỲ Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi trình bày một kết quả mở rộng của Nguyên lý ánh xạ co Banach trong không gian Cauchy yếu. Trên cơ sở đó chứng minh được một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động cho các ánh xạ co và ánh xạ không giãn. 1 GIỚI THIỆU Năm 1922, S. Banach đã chứng minh một kết quả rất nổi tiếng mang tên Nguyên lý ánh xạ co Banach. Có lẽ đó là kết quả nổi tiếng nhất trong Lý thuyết điểm bất động ([1]). Với tầm ảnh hưởng rộng lớn cả về lý thuyết lẫn ứng dụng, Nguyên lý ánh xạ co Banach nói riêng và Lý thuyết điểm bất động nói chung ngày càng thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà toán học. Một số kết quả đặc sắc có thể tìm thấy trong [1] và [2]. Gần đây, với việc giảm nhẹ tính đủ của không gian, tác giả S.M. Ali đã chứng minh sự tồn tại duy nhất điểm bất động cho ánh xạ co f : C −→ C với C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Cauchy yếu X(xem [3]). Năm 2007, trong một ´ c và S.B. Preˇsi´c đã chứng minh rằng, dưới một bài báo của mình, hai tác giả L.B. Ciri´ số điều kiện nhất định, tồn tại duy nhất điểm x∗ ∈ X sao cho T (x∗ , . . . , x∗ ) = x∗ , trong đó T là một ánh xạ đi từ không gian mêtric đủ X vào chính nó và sau đó suy ra Nguyên lý ánh xạ co Banach như là một trường hợp đặc biệt (xem [5]). Từ khái niệm không gian Cauchy yếu, trong bài báo này, chúng tôi trình bày một kết quả mở rộng của Nguyên lý ánh xạ co Banach tương tự như trong [5] và từ đó suy ra kết quả trong [3] như là một hệ quả. Ngoài ra, chúng tôi còn thiết lập được thêm một số kết quả khác về sự tồn tại điểm bất động cho các ánh xạ co và ánh xạ không giãn. Để tiện theo dõi, xin nhắc lại một số khái niệm sau: Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 01(17)/2011: tr. 5-10 6 TRẦN THIỆN TÍN - TRẦN QUÂN KỲ Định nghĩa 1. ([2]) Cho (X, dX ) và (Y, dY ) là hai không gian mêtric. Ánh xạ f : X −→ Y được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại hằng số α ∈ [0; 1) sao cho dY (f (x), f (y)) ≤ αdX (x, y), với mọi x, y ∈ X. Nếu dY (f (x), f (y)) ≤ dX (x, y), với mọi x, y ∈ X. thì f được gọi là ánh xạ không giãn. Định lý 1.1 (Nguyên lý ánh xạ co Banach). ([2]) Cho X là một không gian mêtric đủ và f : X −→ X là một ánh xạ co. Khi đó f có duy nhất một điểm bất động. Định nghĩa 2. ([3]) Một không gian định chuẩn X được gọi là không gian Cauchy yếu nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ yếu về một phần tử nào đó của X. Nhận xét 1.1. ([3]) Cho X là một không gian định chuẩn. X là không gian Cauchy yếu khi và chỉ khi mọi dãy Cauchy trong X đều có một dãy con hội tụ yếu về một phần tử nào đó của X. Định lý 1.2. ([3]) Cho X là một không gian Cauchy yếu, C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của X và f : C −→ C là một ánh xạ co. Khi đó f có duy nhất một điểm bất động x∗ ∈ C. Hơn nữa, dãy (f n (x))n hội tụ yếu đến x∗ , với mọi x ∈ C. Trong bài báo này, các ký hiệu B(x0 , r), B 0 (x0 , r) và S(x0 , r) lần lượt được dùng để chỉ hình cầu mở, hình cầu đóng, mặt cầu tâm x0 , bán kính r trong không gian định chuẩn. 2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN CAUCHY YẾU Định lý 2.1. Giả sử X là một không gian Cauchy yếu, C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của X, k là một số nguyên dương và f : C k −→ C thỏa mãn điều kiện: tồn tại λ ∈ (0; 1) sao cho kf (x1 , x2 , . . . , xk ) − f (x2 , x3 , . . . , xk+1 )k ≤ λ max kxi − xi+1 k, 1≤i≤k với mọi x1 , x2 , . . . , xk+1 ∈ C. Khi đó tồn tại x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , x∗ , . . . , x∗ ) = x∗ . Hơn nữa, nếu kf (x, x, . . . , x) − f (y, y, . . . , y)k < kx − yk, với mọi x, y ∈ C, x 6= y thì x∗ là điểm duy nhất thỏa mãn f (x∗ , x∗ , . . . , x∗ ) = x∗ . 7 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN CAUCHY YẾU Chứng minh. Xét dãy (xn )n các phần tử của C được xác định bởi x1 , x2 , . . . , xk ∈ C tùy ý, Gọi αn = kxn − xn+1 k, n ∈ N, xk+n = f (xn , xn+1 , . . . , xn+k−1 ), θ = λ1/k , n ∈ N. K = max{α1 /θ, α2 /θ2 , . . . , αk /θk }. Ta sẽ chứng minh αn ≤ Kθn , n ∈ N, (1) bằng quy nạp. Trước hết, dễ thấy (1) đúng với n = 1, 2, . . . , k. Bây giờ, với giả thiết quy nạp αn ≤ Kθn , αn+1 ≤ Kθn+1 , . . . , αn+k−1 ≤ Kθn+k−1 , ta suy ra αn+k = kxn+k − xn+k+1 k = kf (xn , xn+1 , . . . , xn+k−1 ) − f (xn+1 , xn+2 , . . . , xn+k )k ≤ λ max{αn , αn+1 , . . . , αn+k−1 } ≤ λ max{Kθn , Kθn+1 , . . . , Kθn+k−1 } = λKθn = Kθn+k . Vậy (1) được chứng minh. Với n, m ∈ N và n < m ta có kxn − xm k ≤ kxn − xn+1 k + kxn+1 − xn+2 k + · · · + kxm−1 − xm k = αn + αn+1 + · · · + αm−1 ≤ Kθn + Kθn+1 + · · · + Kθm−1 ≤ Kθn . 1−θ Do đó (xn )n là một dãy Cauchy trong X. Vì X là không gian Cauchy yếu nên (xn )n hội tụ yếu đến x∗ ∈ X. Mặt khác, do C là lồi đóng nên C đóng yếu, hơn nữa, (xn )n ⊂ C nên x∗ ∈ C. Ta sẽ chứng minh x∗ = f (x∗ , x∗ , . . . , x∗ ). Lấy ε > 0 tùy ý. Với mỗi số tự nhiên n, xét hàm gn : C −→ R x 7−→ gn (x) = kxn − xk. Khi đó gn là ...