Ôn tập tích phân

Tích phân là một khái niệm toán học có thể hiểu như là diện tích hoặc diện tích tổng quát hóa. Tích phân và vi phân là những khái niệm cơ bản của giải tích. Mọi định nghĩa tích phân đều phụ thuộc vào định nghĩa độ đo. Ví dụ, tích phân Riemann dựa trên độ đo Jordan, còn tích phân Lebesgue dựa trên độ đo Lebesgue. Tích phân Riemann là định nghĩa đơn giản nhất của tích phân và thường xuyên được sử dụng trong vật lý và giải tích cơ bản....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ôn tập tích phân Ôn tập tích phân Traàn Só Tuøng Tích phaân Nhaéc laïi Giôùi haïn – Ñaïo haøm – Vi phaân 1. Caùc giôùi haïn ñaëc bieät: sin x a) lim =1 x ®0 x x sin u(x) u(x) Heä quaû: lim =1 lim =1 lim =1 x ®0 sin x u(x)®0 u(x) u(x)®0 sin u(x) x æ 1ö b) lim ç 1 + ÷ = e, x Î R x ®¥ è xø 1 ln(1 + x) ex - 1 Heä quaû: lim (1 + x) x = e. lim =1 lim =1 x®0 x® 0 x x® 0 x 2. Baûng ñaïo haøm caùc haøm soá sô caáp cô baûn vaø caùc heä quaû: (c)’ = 0 (c laø haèng soá) (x a )' = ax a-1 (ua )' = aua-1u ' æ1ö 1 æ1ö u' ç ÷' = - 2 ç ÷' = - 2 èxø x èuø u ( x )' = 1 ( u ) ' = u' 2 x 2 u (e )' = ex x (e )' = u'.e u u (ax )' = a x .ln a (a u )' = a u .ln a . u ' 1 u' (ln x )' = (ln u )' = x u 1 u' (loga x ') = (loga u )' = x.ln a u.ln a (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu 1 u' (tgx)' = = 1 + tg 2 x (tgu)' = = (1 + tg 2 u).u' cos x 2 cos u 2 -1 - u' (cot gx)' = = -(1 + cot g 2 x) (cot gu)' = = - (1 + cot g 2 u).u' sin x 2 sin u2 3. Vi phaân: Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a ; b) vaø coù ñaïo haøm taïi x Î (a; b) . Cho soá gia Dx taïi x sao cho x + Dx Î (a; b) . Ta goïi tích y’.Dx (hoaëc f’(x).Dx) laø vi phaân cuûa haøm soá y = f(x) taïi x, kyù hieäu laø dy (hoaëc df(x)). dy = y’.Dx (hoaëc df(x) = f’(x).Dx AÙp duïng ñònh nghóa treân vaøo haøm soá y = x, thì dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx Vì vaäy ta coù: dy = y’dx (hoaëc df(x) = f’(x)dx) Trang 1 Tích phaân Traàn Só Tuøng NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN §Baøi 1: NGUYEÂN HAØM 1. Ñònh nghóa: Haøm soá F(x) ñöôïc goïi laø nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) neáu moïi x thuoäc (a ; b), ta coù: F’(x) = f(x). Neáu thay cho khoaûng (a ; b) laø ñoaïn [a ; b] thì phaûi coù theâm: F '(a+ ) = f(x) vaø F '(b - ) = f(b) 2. Ñònh lyù: Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) thì : a/ Vôùi moïi haèng soá C, F(x) + C cuõng laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng ñoù. b/ Ngöôïc laïi, moïi nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) ñeàu coù theå vieát döôùi daïng: F(x) + C vôùi C laø moät haèng soá. Ngöôøi ta kyù hieäu hoï taát caû caùc nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) laø ò f(x)dx. Do ñoù vieát: ò f(x)dx = F(x) + C Boå ñeà: Neáu F¢(x) = 0 treân khoaûng (a ; b) thì F(x) khoâng ñoåi treân khoaûng ñoù. 3. Caùc tính chaát cuûa nguyeân haøm: · ( ò f(x)dx ) ' = f(x) · ò af(x)dx = aò f(x)dx (a ¹ 0) · ò [ f(x) + g(x)] dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx · ò f(t)dt = F(t) + C Þ ò f [ u(x)] u'(x)dx = F [ u(x)] + C = F(u) + C (u = u(x)) 4. Söï toàn taïi nguyeân haøm: · Ñòn ...