Phép phân tích trực chuẩn phân tích dữ liệu trong bài toán cơ học chất lỏng

Bài viết Phép phân tích trực chuẩn phân tích dữ liệu trong bài toán cơ học chất lỏng trình bày về hai phương pháp phân tích trực chuẩn: Phương pháp POD cổ điển và phương pháp POD snapshot. Trong đó phương pháp POD snapshot được sử dụng khi kích cỡ của biến thời gian nhỏ hơn đáng kể so với kích cỡ của biến không gian.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phép phân tích trực chuẩn phân tích dữ liệu trong bài toán cơ học chất lỏngTuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8 PHÉP PHÂN TÍCH TRỰC CHUẨN PHÂN TÍCH DỮ LIỆU TRONG BÀI TOÁN CƠ HỌC CHẤT LỎNG Nguyễn Đức Hậu Trường Đại học Thủy lợi, email: ndhau.dhtl@tlu.edu.vn1. GIỚI THIỆU CHUNG trong không gian con với số chiều là N POD dạng: Phương pháp phân tích trực giao theo giá N PODtrị riêng (Proper Orthogonal Decomposition-POD) là một phương pháp phân tích các dữ u ( X) ≈ ∑ ( u,Φ i )Φ i ( X ) . i =1liệu, nó xấp xỉ một hệ các phương trình có số Điều kiện tối ưu hóa theo nghĩa tích vôchiều lớn thành hệ có cỡ nhỏ hơn. Phương hướng trên không gian hàm H theo nghĩapháp này được sử dụng trong cơ học chất tìm được các modes Φ i ∈ H ( Ω ) trực chuẩnlỏng bởi Lumley [1] năm 1967 để xác định sao cho cực tiểu hóa sai số sau:cấu trúc của dòng chảy rối và sau đó xây N PODdựng một mô hình rút gọn có thể xấp xỉ được u ( X) − ∑ ( u,Φ i )Φ ( X ) ,năng lượng của dòng chảy. Ý tưởng ban đầu i =1của phương pháp POD là công cụ để xử lý trong đó . kí hiệu là trung bình theo thờicác dữ liệu tuy nhiên sau đó phương pháp gian của tập hợp các dữ liệu ban đầunày được sử dụng rất nhiều để xấp xỉ hệ Theo Lumley 1967 bài toán cực tiểu hóaphương trình Navier-Stokes để xây dựng lại trên dẫn đến bài toán cực đại hóa sau:và kiểm soát dòng chảy. Phương pháp POD Xác định các véc tơ đơn vị trên khônglà một phương pháp tuyến tính trong đó ta sẽ gian H* ( Ω ) = H ( Ω ) {0} sao cho có cực đạixác định một hệ sơ sở trực chuẩn để xấp xỉ(một cách tối ưu) các dữ liệu ban đầu là tập hóa sau:hợp rời rạc hoặc liên tục có cỡ lớn (các kết ( u,Ψ )2quả thực nghiệm hay là các kết quả số tại các max .thời điểm khác nhau). Ψ ∈H* ( Ω ) (Ψ ,Ψ ) Ta định nghĩa toán tử tuyến tính:2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU K : H (Ω ) → H (Ω ) Ta xét các dữ liệu dạng u( X ) với xác định Ψ 6 K (Ψ ) = ( C ( X ,.) ,Ψ ( X ) ) ,trên H ( Ω ) . H là một không gian Hilbert với với C ( X , X ) = u ( X ) u ( X ) là ten sơ tươngtích vô hướng ( .,.) với chuẩn . H và Ω là giao có tính chất đối xứng.một miền không gian và thời gian Dễ dàng chứng minh được toán tử K làΩ = X × [ 0,T ] với T > 0 . H là không gian toán tử đối xứng, không âm nghĩa làL2 ( Ω ) với tích vô hướng: ∀Φ ,Ψ ∈ H ( Ω ) ta có: (Φ ,Ψ ) = ∫ Φ ( X )Ψ ( X ) dX . ( KΦ ,Ψ ) = (Φ ,KΨ ) , Ω ( KΦ ,Φ ) ≥ 0 . Phương pháp POD cổ điển là phương phápxấp xỉ ở đó ta xác định một hệ cơ sở trực Theo định lý Riesz về phổ của toán tửchuẩn từ đó ta xác định xấp xỉ tốt nhất của u tuyến tính K có vô hạn các giá trị riêng thực 156 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8không âm có thể được sắp theo thứ tăng dần ∞ C ( X , X ) = ∑ λiΦ i ( X )Φ i ( X ) .λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ ... ≥ 0 , và i =1 +∞ Vì {Φ i } trực chuẩn nên ta có: ∑ λi < ∞. i =1 ai a j = ( u,Φ i ) u,Φ j ( ) Các hàm riêng của K là trực giao. Ta cóthể chọn các hàm riêng là trực chuẩn. Bàitoán cực đại hóa trên trở thành tìm Ψ ∈ H * = ∫ u ( X )Φ i ( X ) d X ∫ u ( X )Φ j ( X ) d X H Hsao cho: ( KΨ ,Ψ ) = max ( KΦ ,Φ ) . ...