Phương pháp tích phân từng bước cải tiến trong phân tích phản ứng động của hệ kết cấu nhiều bậc tự do

Bài viết này đề xuất hai phương pháp tích phân từng bước cải tiến trong phân tích phản ứng động của các kết cấu nhiều bậc tự do. Tương tự một số phương pháp khác, gia tốc của hệ kết cấu được giả thiết biến thiên với quy luật bậc hai (hoặc bậc ba). Do đó, sự biến thiên của chuyển vị của hệ có dạng đa thức bậc bốn (hoặc bậc năm).
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp tích phân từng bước cải tiến trong phân tích phản ứng động của hệ kết cấu nhiều bậc tự doKẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNGPHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG BƯỚC CẢI TIẾNTRONG PHÂN TÍCH PHẢN ỨNG ĐỘNG CỦA HỆ KẾT CẤUNHIỀU BẬC TỰ DONguyễn Xuân Thành1*Tóm tắt: Từ ý tưởng trong công bố của Razavi và cộng sự (vcs) [1], bài báo này đề xuất hai phương pháptích phân từng bước cải tiến trong phân tích phản ứng động của các kết cấu nhiều bậc tự do. Tương tự mộtsố phương pháp khác, gia tốc của hệ kết cấu được giả thiết biến thiên với quy luật bậc hai (hoặc bậc ba). Dođó, sự biến thiên của chuyển vị của hệ có dạng đa thức bậc bốn (hoặc bậc năm). Khi đó, sẽ có năm (hoặcsáu) hệ số của đa thức cần phải xác định giá trị trong mỗi bước thời gian. Các phương trình để tìm các giátrị này bao gồm hai điều kiện ban đầu nhận được từ bước phân tích trước đó, phương trình cân bằng củahệ ở thời điểm đầu và/hoặc cuối của bước thời gian hiện thời, và hai phương trình cuối là điều kiện để chotích phân của bình phương sai số của phương trình chuyển động trong bước thời gian đang xét đạt cực tiểu.Cách thiết lập này dẫn đến dạng đối xứng của ma trận hệ số - là dạng được ưa thích hơn trong các tính toánxử lý số - trong phương trình để tìm an và bn của đa thức xấp xỉ chuyển vị. Các kết quả bằng số nhận đượctrong bài báo này chỉ ra rằng, với cùng các điều kiện giải bài toán như nhau, phương pháp được đề xuất ởđây cho lời giải bằng số chính xác hơn một số phương pháp thông dụng khác hiện nay.Từ khóa: động lực học, phương pháp số, tích phân trực tiếp, tích phân từng bước, độ chính xác.Improved time step integration methods in dynamic analysis of MDOF structuresAbstract: From the idea proposed by Razavi et al [1], this article proposes two improved schemes of timeintegration for dynamic analysis of multi-degree-of-freedom (MDOF) structures. As in some other methods,the author assumed a quadratic (or cubic) variation of the accelerations of MDOF structure. Therefore, interm of displacements, there are five (or six) unknown coefficients in the polynomial functions to be found.The equations to find these coefficients are the two initial conditions from previous step, the one(s) from thesystem equilibrium at the end(s) of the current time step, and the last two being the conditions for optimumvalue of integral of square of residue over the step length. The the formulation of the proposed schemeleads to the symmetric form of the coefficient matrix in the equation for finding an and bn which is preferablein numerical computations. In addition, numerical results obtained in this article show that, with the sameproblem settings, the proposed scheme attains higher accuracy compared with ones from other commonlyused methods.Keywords: dynamics, numerical method, direct integration, time-step integration, accuracy.Nhận ngày 9/8/2017; sửa xong 20/9/2017; chấp nhận đăng 26/9/2017Received: August 9th, 2017; revised: September 20th, 2017; accepted: September 26th, 20171. Giới thiệuLời giải tìm phản ứng của hệ kết cấu, cả tuyến tính lẫn phi tuyến, chịu tải trọng biến thiên theo thờigian thường rất hãn hữu nhận được ở dạng giải tích. Trong các tình huống này thì cần phải sử dụng cácphương pháp số mà trong một số chúng là phương pháp tích phân từng bước theo thời gian. Các phươngpháp này được phân nhóm thành các phương pháp tường minh và các phương pháp không tường minh[2,3]. Một phương pháp được gọi là tường minh nếu phương trình chuyển động được thỏa mãn tại thời điểmbắt đầu của bước thời gian đang xét và phương pháp tính toán các giá trị chuyển vị và vận tốc tại thời điểmcuối của bước thời gian đang xét. Ngược lại, nếu các phương trình chuyển động được thỏa mãn tại thờiđiểm cuối của bước thời gian đang xét thì phương pháp được gọi là phương pháp không tường minh. CácTS, Khoa Xây dựng DD & CN, Trường Đại học Xây dựng.* Tác giả chính. E-mail: thanhnx@nuce.edu.vn.1TẬP 11 SỐ 509 - 201785KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ ỨNG DỤNGphương pháp tường minh yêu cầu tính toán ít hơn trong mỗi bước thời gian nhưng số bước thời gian nhiều,trong khi đó các phương pháp không tường minh lại yêu cầu tính toán nhiều hơn trong mỗi bước thời gian,với bước lớn hơn nên số lượng các bước sẽ ít hơn [4].Hiệu quả của một phương pháp tích phân từng bước theo thời gian được đánh giá qua các đặc trưngổn định, độ chính xác và tính hội tụ của phương pháp. Trong các phương pháp ổn định có điều kiện, độ lớncủa mỗi bước chia theo thời gian không được phép vượt quá bước thời gian tới hạn vì nếu vượt quá giá trịnày thì lời giải sẽ nhanh chóng trở nên không bị chặn và sự mất ổn định số của nghiệm của bài toán sẽ xảyra. Sai số là vấn đề không thể tránh khỏi đối với bất kỳ một phương pháp số nào để giải phương trình chuyểnđộng của hệ kết cấu. Để đánh giá sai số của phương pháp tích phân từng bước theo thời gian, người tathường khảo sát hai chỉ số là sai số về chu kỳ riêng (dispersion), và suy giảm biên độ (d ...