Sáng kiến kinh nghiệm: Dùng phép thế lượng giác trong bất đẳng thức

Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục đích chia sẻ một số kinh nghiệm cũng như nghiên cứu của tác giả. Hy vọng có thể giúp các giáo viên có thể có thêm tài liệu giảng dạy cũng như có thể áp dụng để đổi mới phương pháp dạy học, giúp học sinh học tập hiệu quả. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sáng kiến kinh nghiệm: Dùng phép thế lượng giác trong bất đẳng thức 2 Dïng phÐp thÕ l−îng gi¸c trong bÊt ®¼ng thøcI. Dïng c¸c hÖ thøc l−îng gi¸c c¬ b¶n 1 1 1 + tg 2x =2 ; 1 + cotg 2 x = 2 2 2 ; sin x + cos x = 1. cos x sin x √ √Vµo bµi to¸n cã c¸c biÓu thøc d¹ng x2 + a2 , x2 ± a2, a2 − x21. Chøng minh r»ng c¸c bÊt ®¼ng thøc sau ®óng víi mäi a, b (a2 − b2 )(1 − a2b2 ) 1 a) ; 2 2 2 (1 + a ) (1 + b ) 2 4 2(a + b)(1 − ab) b) 1; (1 + a2)(1 + b2 ) π πHD: §Æt a = tgα, b = tgβ; α, β ∈ − ; . Khi ®ã 2 2 (a2 − b2)(1 − a2b2 ) 2 2 2 2 = | sin(α + β) sin(α − β) cos(α − β) cos(α + β) (1 + a ) (1 + b ) 1 1 = sin[2(α + β)] sin[2(α − β)] 4 42. Chøng minh r»ng nÕu |x| < 1 vµ 2 n ∈ N, th× (1 + x)n + (1 − x)n < 2n .HD: §Æt x = cos α, α ∈ (0; π). Khi ®ã(1 + x)n + (1 − x)n = (1 + cos α)n + (1 − cos α)n = 2n (cosn α2 ) + sinn α2 ) < 2n (cos2 α2 + sin2 α2 ) = 2n3. (Latvia-2002) Cho a, b, c, d lµ c¸c sè thùc d−¬ng tháa m/n 1 1 1 1 + + + = 1. 1 + a4 1 + b4 1 + c4 1 + d4Chøng minh r»ng abcd 3. 2 NguyÔn V¨n NhiÖm 22 πHD: §Æt a2 = tgα, b2 = tgβ, c2 = tgγ, d2 = tgδ, víi α, β, γ, δ ∈ (0; ). 2Th× tõ gi¶ thiÕt ta cã cos2 α + cos2 β + cos2 γ + cos2 δ = 1¸p dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh nh©n vµ trung b×nh céng, ta cã: sin2 α = 1 − cos2 α = cos2 β + cos2 γ + cos2 δ 3 3 (cos2 β cos2 γ cos2 δ)2 .Chøng minh t−¬ng tù ta cã: sin2 β 3 3 (cos2 α cos2 γ cos2 δ)2; sin2 γ 3 3 (cos2 α cos2 β cos2 δ)2; sin2 δ 3 3 (cos2 α cos2 β cos2 γ)2 .Nh©n tõng vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn, suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.4. Cho a, b, c, d lµ c¸c sè thùc tháa m/n (1 + a2 )(1 + b2 )(1 + c2 )(1 + d2 ) = 16.Chøng minh r»ng: −3 ab + +ac + ad + bc + bd + cd − abcd 5. π πHD: §Æt a = tgα, b = tgβ, c = tgγ, d = tgδ, víi α, β, γ, δ ∈ (− ; ). 2 2 P = ab + ac + ad + bc + bd + cd − abcd − 1 ⇒ 4. cos α cos β cos γ cos δ = 1vµ P = (b + c)(a + d) − (1 − ad)(1 − bc) = 4 sin(β + γ) sin(α + δ) − 4 cos(α + δ) cos(β + γ) = −4 cos(α + β + γ + δ) ⇒ (®pcm).5. (APMO-2004) Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc d−¬ng a, b, c ta cã (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) 9(ab + bc + ca). √ √ √ πHD: §Æt a = 2tgα, b = 2tgβ, c = 2tgγ; α, β, γ ∈ (0; ). 2§iÒu ph¶i chøng minh t−¬ng ®−¬ng víi 4 cos α cos β cos γ(cos α cos β cos γ − cos(α + β + γ)) 9 α+β +㧨t λ = . ¸p dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung 3 cos x + cos y x+y πb×nh nh©n, bÊt ®¼ng thøc cos víi x, y ∈ (0; ), ta cã 2 2 2 cos α + cos β + cos γ 3 cos α cos β cos γ cos3 λ. 3 23Ta sÏ chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau 4 cos3 λ(cos3 λ − cos 3λ).(3) 9 4mµ cos 3λ = 4 cos3 λ − 3 cos λ do ®ã (3) ⇔ cos4 λ(1 − cos2 λ). 27MÆt kh¸c theo bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n, ta cã cos2 λ cos2 λ 13 1 cos2 λ cos2 λ 1 2 2 · · (1 − cos λ) + + (1 − cos λ) = . 2 2 3 2 2 3II. BÊt ®¼ng thøc cã ®iÒu kiÖn rµng buéc d¹ng a + b + c = abc, ab + bc + ca = 11. T×m mèi quan hÖ ®¹i sè gi÷a x, y, z trong c¸c tr−êng hîp sau biÕt r»ng:a) tgx.tgy + tgy.tgz + tgz.tg x = 1. π π§S: x + y + z = + kπ, x, y, z = + kπ. 2 2b) tgx + tgy + tgz = tgx.tgy.tgz. π§S: x + y + z = kπ, x, y, z = + kπ. 22. Cho 0 < x, y, z < 1 vµ xy + yz + zx = 1. Chøng minh r»ng: √ x y z 3 3 + + . 1 − x2 1 − y 2 1 − z 2 23. Cho c¸c sè thùc d−¬ng x, y, z tháa m/n xy + yz + zx = 1. Cmr: x y ...