Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Vận dụng linh hoạt bất đẳng thức Côsi trong giải toán cực trị hình học 9

Đề tài này xin được dành cho đối tượng là các em học sinh giỏi Toán lớp 9 và các thầy cô giáo tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi Toán bậc THCS. Với mong muốn được góp một phần nhỏ bé vào sự nghiệp bồi dưỡng và đào tạo nhân tài.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Vận dụng linh hoạt bất đẳng thức Côsi trong giải toán cực trị hình học 9 1 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: - Hội đồng sáng kiến Ngành giáo dục Thị xã Bình Long. Tôi ghi tên: Tỷ lệ (%) Trình độ đóng góp Số Ngày tháng Chức Họ và tên Nơi công tác chuyên vào việc tạo TT năm sinh danh môn ra sáng kiến Trường PHẠM Giáo TH&THCS Cao đẳng 1 XUÂN 02/07/1978 Viên 100% Thanh Sư phạm THÀNH THCS Lương 1. Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: “Vận dụng linh hoạt bất đẳngthức Côsi trong giải toán cực trị hình học 9”. 2. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Tác giả đồng thời là chủ đầu tư tạo ra sángkiến. 3. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục (Môn Toán) 4. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu: ngày 2/1/ 2020 5. Mô tả bản chất của sáng kiến: 5.1: Tính mới của sáng kiến: Những bài toán cực trị thường được gắn Toán học với thực tiễn, bởi việc đi tìmcái lớn nhất, nhỏ nhất, nhiều nhất, ít nhất… chính là đi tìm cái tối ưu thường được đặtra trong đời sống và kỹ thuật. Đề tài này xin được dành cho đối tượng là các em họcsinh giỏi Toán lớp 9 và các thầy cô giáo tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi Toán bậcTHCS. Với mong muốn được góp một phần nhỏ bé vào sự nghiệp bồi dưỡng và đàotạo nhân tài. Việc khai thác bất đẳng thức Côsi trong quá trình giải các bài toán bất đẳngthức và cực trị hình học là một hướng tiếp cận hiệu quả, không chỉ bởi lẽ đối tượngcủa hình học (diện tích, độ dài đoạn thẳng, số đo góc, …) và đối tượng để áp dụngBĐT Côsi là tương đồng (đại lượng không âm), mà còn bởi tính đa dạng của BĐTCôsi trong vận dụng. Sự khéo léo, linh hoạt trong việc khai thác BĐT Côsi là một yêucầu đối với học sinh giỏi Toán. Mức độ khó, dễ của bài toán cũng có thể được điềuchỉnh tuỳ theo chủ ý của người ra đề. 5.2: Nội dung sáng kiến: 5.2.1: Thực trạng của vấn đề: 2 Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học thuộc loại những bài toán khó,làm cho học sinh phổ thông, nhất là trung học cơ sở, kể cả học sinh giỏi lúng túng khigặp dạng toán này. Thực sự đây là một phần rất quan trọng của hình học, và nhữngkiến thức về bất đẳng thức trong hình học cũng làm phong phú hơn phạm vi ứng dụngcủa Toán học. So với các bất đẳng thức đại số, các bất đẳng thức hình học chưa được quan tâmnhiều. Một trong những nguyên nhân khó giải quyết vấn đề này là vì phương pháp tiếpcận không phải là các phương pháp thông thường hay được áp dụng trong hình học, vàcũng không phải chỉ là phương pháp đại số thuần tuý. Để giải một bài toán về bất đẳngthức hình học cần thiết phải biết vận dụng các kiến thức hình học và đại số một cáchthích hợp và nhạy bén. 5.2.2: Nội dung sáng kiến: Nội dung sáng kiến tạm chia làm ba phần: Phần một gồm một số bài toán điển hình và những nhận xét của tác giả. Phần hai là một vài suy nghĩ và những trao đổi xung quanh việc khai thác mộtbài toán gốc của đại số để cho ra những bài toán với những mức độ khác nhau củahình học, thông qua những ví dụ minh hoạ cụ thể. Phần ba là một số bài tập đề xuất.  Một số kiến thức nâng cao: 1. Bất đẳng thức Côsi: Cho a1, a2, …, an là các số không âm. Ta luôn có: a1+a2+...+an  n a a ...a 1 2 n n Dấu bằng xảy ra khi a1 = a2 = … = an.* Cách phát biểu khác cho BĐT Côsi là : Với các số không âm, trung bình cộng khôngnhỏ hơn trung bình nhân. Trung bình cộng và trung bình nhân bằng nhau khi và chỉkhi các số đó bằng nhau.* Ý nghĩa của BĐT Côsi: + n số không âm có tổng không đổi, tích của chúng đạt giá trị lớn nhất khi cácsố đó bằng nhau. + n số dương có tích không đổi, tổng của chúng đạt giá trị nhỏ nhất khi các sốđó bằng nhau. 2. Một số định lý nâng cao Định lý Ceva(định lý Sêva - nhà toán học Ý, 1647-1734)Cho tam giác ABC. Các điểm A’, B’, C’lần lượt thuộc các đường thẳng BC, CA,AB. Khi đó AA’, BB’, CC’ đồng quy khi 3 AB B C C Avà chỉ khi . . ...