SKKN: Giới hạn dãy số trong các đề thi học sinh giỏi

Mục đích nghiên cứu của đề tài "Giới hạn dãy số trong các đề thi học sinh giỏi" là có kỹ năng giải toán và một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT. Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về giới hạn dãy số, tìm hiểu thực trạng của việc học dãy số trong chương trình môn toán của trường THPT, tìm hiểu bài toán khó về giới hạn dãy số trong các đề thi học sinh giỏi, xây dựng hệ thống các bài tập điển hình nhằm rèn luyện kỹ năng tổng hợp kiến thức đối với học sinh giỏi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
SKKN: Giới hạn dãy số trong các đề thi học sinh giỏiNguyễn Văn Giáp - THPT Nguyễn Trung Ngạn Sáng kiến kinh nghiệm Giới hạn dãy số trong các đề thi HS giỏiNguyễn Văn Giáp - THPT Nguyễn Trung Ngạn MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Dãy số là một lĩnh vực khó và rất rộng, trong các đề thi học sinh giỏi quốcgia, quốc tế cũng thường xuất hiện các bài toán về dãy số. Để giải được các bàitoán về dãy số đòi hỏi người làm toán phải có kiến thức tổng hợp về số học, đạisố, giải tích. Các vấn đề liên quan đến dãy số cũng rất đa dạng và cũng có nhiềutài liệu viết về vấn đề này, các tài liệu này cũng thường viết khá rộng về các vấnđề của dãy số, các vấn đề được quan tâm nhiều hơn là các tính chất số học vàtính chất giải tích của dãy số. Tính chất số học của dãy số thể hiện như tính chia hết, tính nguyên, tínhchính phương… , tính chất giải tích có nhiều dạng nhưng quan trọng là các bàitoán tìm giới hạn dãy số. Các bài toán về dãy số thường là các bài toán hay vàkhó, tác giả đã sưu tầm, chọn lọc và phân loại theo từng chủ đề Sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Giới hạn dãy số trong các đề thi họcsinh giỏi” có mục đích trình bày một cách hệ thống, chi tiết giới hạn dãy số. Đềtài được trình bày với 2 chương. Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Chương này hệ thống lại kiến thứccơ bản nhất về dãy số, số học, phương pháp sai phân sẽ được dùng để giải quyếtcác bài toán trong chương 2. Chương 2. Giới hạn của dãy số. Chương này đề cập đến một số bài toánvề giới hạn dãy số như: Giới hạn của tổng, dãy con và sự hội tụ của dãy số, dãysố xác định bởi phương trình cùng với phương pháp giải cụ thể cho từng dạngtoán. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lí luận về kỹ năng, kỹ năng giải toán và một số biện pháprèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về giới hạn dãy số Tìm hiểu thực trạng của việc học dãy số trong chương trình môn toáncủa trường THPT Tìm hiểu bài toán khó về giới hạn dãy số trong các đề thi học sinh giỏi Xây dựng hệ thống các bài tập điển hình nhằm rèn luyện kỹ năng tổnghợp kiến thức đối với học sinh giỏiNguyễn Văn Giáp - THPT Nguyễn Trung Ngạn Gợi ý cách vận dụng hệ thống bài tập điển hình trong việc rèn luyện kỹnăng giải toán nói chung, góp phần phát triển trí tuệ cho học sinh. 3. Phương pháp nghiên cứu a) Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu một số giáo trình phương pháp dạy học môn toán, SGKphổ thông, Sách bồi dưỡng giáo viên THPT, các sách tham khảo, các tạp chí vềgiáo dục liên quan đến đề tài. b) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, qua trao đổikinh nghiệm với một số giáo viên giỏi bộ môn Toán ở trường THPT. Từ đó xâydựng được hệ thống các bài tập điển hình và những gợi ý dạy học nhằm rènluyện kỹ năng tìm giới hạn hàm số c) Phương pháp quan sát, điều tra: Quan sát và điều tra thực trạng dạy học giải toán về dãy số đối với họcsinh lớp 11 và 12, qua đó nắm bắt được nhu cầu của việc rèn luyện kỹ năng giảitoán về dãy số của học sinh 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đề tài được nghiên cứu đối với học sinh các lớp 11A1, 11A2, 11A3 vàhọc sinh trong đội tuyển học sinh giỏi toán lớp 12 trường THPT Nguyễn TrungNgạn. 5. Thời gian nghiên cứu. Đề tài được nghiên cứu trong các năm học 2009 – 2010, 2010 – 2011,2011- 2012 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊNguyễn Văn Giáp - THPT Nguyễn Trung Ngạn 1.1.DÃY SỐ 1.1.1.Định nghĩa Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là mộtdãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: u: N*  R n  u(n)Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển u1, u2, u3,…, un, …Trong đó un = u(n) và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạngtổng quát của dãy số Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2,3,…, m} với m  N* được gọi làmột dãy số hữu hạn Dạng khai triển của nó là u1, u2, u3,…,um trong đó u1 là số hạng đầu, um làsố hạng cuối.  Dãy số (u n) được gọi là: - Dãy đơn điệu tăng nếu un+1 > un, với mọi n = 1, 2, … - Dãy đơn không giảm nếu un+1  un, với moi n = 1, 2, … - Dãy đơn điệu giảm nếu un+1 < un, với mọi n = 1, 2, … - Dãy đơn điệu không tăng nếu un+1  un, với mọi n = 1, 2, …  Dãy số (u n) được gọi là - Dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un < M, với mọi n = 1, 2, … - Dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un > m, với mọi n = 1, 2, … - Dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới  Dãy số (u n) được gọi là tuần hoàn với chu kì k nếu un + k = un, với  n  Dãy số (u n) được gọi là dãy dừng nếu tồn tại một số N0 sao cho un = C với mọi n  N 0, (C là hằng số, gọi là hằng số dừng) 1.1.2. Cách cho một dãy số - Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát Ví dụ: n n 1  1 5  1  1 5  un   2   5 2      5   Nguyễn Văn Giáp - THPT Nguyễn Trung Ngạn - Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi Ví dụ: Dãy số (un) được xác định bởi: u1  1, u2  50  un 1  4un  5u n1  1975 n  2,3, 4... - Dãy số cho bằng phương pháp mô tả: Ví dụ: Cho a1 = 19, a2 = 98. Với mỗi số nguyên n  1, xác định an +2 bằngsố dư của phép chia an + an +1 cho 100. 1.1.3. Một vài dãy số đặc biệt a) Cấp số cộng. Định nghĩa. Dãy số u1, u2, u3, … được gọi là một cấp số cộng với côngsai d (d  0) nếu un = u n – 1 + d với mọi n = 2, 3, … Tính chất un =u1 + (n – 1)d uk 1  uk 1 uk = với ...