SKKN: Một số bài toán về cực trị trong Hình học

Bài toán về cực trị trong Hình học đâylà một trong những dạng toán khó trong chương trình toán phổ thông, hy vọng rằng sáng kiến này sẽ giúp các em giải quyết bớt những khó khắn khi gặp dạng toán này. Mời quý thầy cô và các em tham khảo sáng kiến “Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến”.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
SKKN: Một số bài toán về cực trị trong Hình học SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC Đề tài sang kiến kinh nghiệmI. NỘI DUNG ĐỀ TÀI1. Tên đề tài: “Một số bài toán về cực trị trong hình học”2. Lý do chọn đề tài:Một trong những công tác quan trọng trong nhà trường phổ thông là đàotạo và bồi dưỡng nhân tài. Để hoàn thành nhiệm vụ đó với cương vị là giáoviên giảng dạy bộ môn toán, tôi nhận thấy cần phải cải tiến phương phápnhằm nâng cao chất lượng dạy học. Là giáo viên được phân công dạy vàbồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 nên tôi đã chọn viết chuyên đề: “Một số bàitoán về cực trị trong hình học”. Đây là một trong những dạng toán khótrong chương trình toán phổ thông, hi vọng rằng tư liệu này sẽ giúp các emgiải quyết bớt những khó khăn khi gặp dạng toán này.3. Phạm vi, thời gian thực hiệnPhạm vi: học sinh khá giỏi lớp 8 - 9Thời gian: 10 tiết (trong đó có 2 tiết kiểm tra)II. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI1. Khảo sát thực tế:Trước khi thực hiện đề tài này các em học sinh đã được trang bị nhữngkiến thức cơ bản tương đối đầy đủ của chương trình bộ môn toán trong nhàtrường phổ thông trung học cơ sở. Quá trình nhận thức của các em ở mứcđộ bình thường có thể hoàn thành các bài toán trong sách giáo khoa và cókhả năng giải được một số bài toán có tính nâng cao. Mặc dù vậy khi đứngtrước những bài toán khó thì việc tìm ra đường lối giải nhiều khi vẫn gặpkhó khăn và bế tắc.2. Biện pháp thực hiện:Qua kinh nghiệm giảng dạy và được sự giúp đỡ động viên của đồngnghiệp, thông qua một số tư liệu tham khảo tôi muốn điểm lại một số lýthuyết và giải quyết một số bài tập nhằm giúp các em tìm thấy sự bổ ích vàđạt kết quả khi học chuyên đề này.Nguyễn Thị Hương 1 Đề tài sang kiến kinh nghiệm3. Nội dung chủ yếu của đề tài:A. KHÁI NIỆM:Toán cực trị hình học là một dạng các bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏnhất của một đại lượng nào đó (như độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đodiện tích, số đo chu vi….) trong tất cả các hình có chung một tính chất.Các bài toán cực trị trong hình học thường được trình bày theo 2 cách:Cách 1:Trong các hình có tính chất của đề bài, chỉ ra một hình rồi chứng minhhình rằng mọi hình khác đều có giá trị (của đại lượng phải tìm cực trị) lớnhơn (hoặc nhỏ hơn) giá trị của đại lượng đó ở hình đã chỉ ra.Cách 2:Thay điều kiện một đại lượng đạt cực trị (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) bằng cácđiều kiện tương đương, cuối cùng dẫn đến một điều kiện mà ta xác địnhđược vị trí của các điểm để đạt cực trị.Trong hai cách trên thì lời giải theo cách 2 có vẻ tự nhiên hơn vì nó mangtính chất tìm kiếm.B. CÁC BÀI TOÁN:Bài toán 1:Cho hình vẽ ABCD cạnh là a. Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy haiđiểm di động E và F sao cho AE + EF + FA A E B= 2a. Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích ∆CEF lớn nhất. Tìm giá trị đó. IGiải: KẻCI ⊥ EF ⇒ ΔCIE = ΔCBE F⇒ CI = CB = aTa lại có: D CNguyễn Thị Hương 2 Đề tài sang kiến kinh nghiệm a2 1 a2SABCD = SCEF + SCDF + SCBE + SAEF = 2SCEF + SAEF ⇒ SCEF = − EA.AF ≤ 2 2 2 a2⇒ Max SCEF = ⇔ AE.AF = 0 2=> hoặc AE = 0 hoặc AF = 0 suy ra hoặc E trùng với A hoăc F trùng vớiA.Bài toán 2: ˆCho tam giác vuông cân ABC ( A = 90o), cạnh góc vuông là a. Gọi M làtrung điểm của BC. Từ đỉnh M vẽ góc 45o, các cạnh của góc này cắt mộthoặc hai cạnh của tam giác MEF là lớn nhất. Tính giá trị đó theo a.Giải:a) Xét trường hợp E, F cùng nằm trên mộtcạnh:= 45o. Kẻ MP ⊥ AB , MQ ⊥ AC ta có tứ giácAPMQ là hình vuông.Mặt khác: MF < MA; MQ < METrên đoạn MA lấy K sao cho MK = MFTrên ME lấy I sao cho MK = MQTa có: góc KMI = 450 − EMQ = FMQ=> ∆ KMI = ∆ FMQ (c.g.c)=> SKMI = SFMQ 1 a2⇒ S MEF < S MAQ = S ABC = 4 8 a2Tức là: SMEF < 8b) Xét trường hợp E và F tương ứng nằmtrên 2 cạnh AB và AC, áp dụng bài toán 1 ta có : SAPMQ = 2SMEF + SAEFNguyễn Thị Hương 3 Đề tài sang kiến kinh nghiệm a2=> 2SMEF = SAPMQ - SAEF => SMEF < 8 a2Vậy Max SMEF < khi hoặc E ≡ A hoặc F ≡ A 8Bài toán 3:Trong các tam giác ABC có cùng cạnh BC và có cùng diện tích hãy tìmtam giác có chu vi nhỏ nhất.Giải:Cách 1: (hình vẽ 1)Xét ∆EBC cân tại E và ∆ABCbất kỳ có cùng diện tích (E và Anằm cùng một phía đối với BC,A khác E), ta có AE // BC. Ta sẽchứng minh rằng BE + EC < BA+ ACGọi D là điểm đối xứng với Cqua ETa có: BE + EC = DC (1)∆BDC có DE = EC; AE // BC nên AE đi qua trung điểm của BD. Ta lại có:BD ⊥ BC (vì tam giác BDC có đường trung tuyến BE bằng nửa CD) nên:AE ⊥ BD => AE là đường trung trực của BD nên AB = AD. Do đóBA + AC = DA + AC (2)∆ADC có DC < DA + AC (3)Từ (1) (2) (3) => BE + EC < BA + ACVậy trong các ∆ABC có cùng diện tích, có cùng cạnh BC thì tam giác cânđáy BC có chu vi nhỏ nhất.Cách 2: (hình vẽ 2)Xét các ∆ABC có cạnh đáy BC không đổi và có cùng diện tích. Do chiềuNguyễn Thị Hương 4 Đề tài sang kiến kinh nghiệm ...