SKKN: Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Khi gặp phải bài toán “Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”, các em thường lúng túng khi giải quyết bài toán này có những học sinh thì làm được nhưng còn mơ hồ về đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, không nối kết được kiến thức đường vuông góc chung đã học ở môn Hình học 11 vào bài toán này. Để giúp học sinh định hướng giải quyết bài toán trên một cách hợp lý tùy theo từng điều kiện cụ thể. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
SKKN: Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ CÁCH GIẢI BÀI TOÁN LẬPPHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAUI ./ ĐẶT VẤN ĐỀ Như chúng ta đã biết Hình học là môn học rất khó đối với nhiều học sinh, mà đặc biệtlà hình học không gian, đa số các em không biết nối kết hình học tổng hợp với hình học giảitích. Mặc dù ở các lớp thuộc ban khoa học tự nhiên học theo chương trình nâng cao nhưngcác em vẫn còn rất yếu về hình học. Cụ thể để giải một số bài toán khó trong chương trìnhHình học nâng cao 12 , ở chương III “Phương pháp toạ độ trong không gian”, đòi hỏi phảinắm vững các kiến thức hình học không gian ở lớp 11. Qua nhiều năm giảng dạy, tôi nhân thấy các em thường áp dụng một cách máy móccách giải của một số bài toán mà các sách bài tập đã trình bày, chưa biết kết nối giữa hìnhhọc tổng hợp với hình học giải tích. Vì vậy, khi gặp phải bài toán “Viết phương trình đườngvuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”, các em thường lúng túng khi giải quyếtbài toán này có những học sinh thì làm được nhưng còn mơ hồ về đường vuông góc chungcủa hai đường thẳng chéo nhau, không nối kết được kiến thức đường vuông góc chung đãhọc ở môn Hình học 11 vào bài toán này. Chính vì vậy, tôi xin trình bày một số cách để giải bài toán “Viết phương trình đườngvuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”, nhằm mục đích giúp học sinh địnhhướng giải quyết bài toán trên một cách hợp lý tùy theo từng điều kiện cụ thể.II./ QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP:1. Lý thuyết a. Định nghĩa : Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 . Đường thẳng D cắt cả d1và d2 đồng thời vuông góc với cả d1 và d2 được gọi là đường vuông góc chung của haiđường thẳng d1 và d2 . b. Các định lý : b.1- Hai đường thẳng chéo nhau có một và chỉ một đường vuông góc chung. b.2- Nếu d1, d2 là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứađường thẳng này và song song với đường thẳng kia.2. Bài toán Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 . Lập phương trình đườngthẳng D là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 . Bài giải: rTrong bài này ta giả sử đường thẳng d1 qua A(xA ;yA ;z A) có vectơ chỉ phương (VTCP) a , rđường thẳng d2 qua B(xB ;yB ;z B) có VTCP b a. Trường hợp đặc biệt : d1 ^ d 2 Ta có cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 nhưsau: + Dựng mp (P): (P) É d1 và (P) ^ d 2 tại M d2 + Dựng MN : MN ^ d1 tại N M d1 + Đường thẳng MN là đường vuông góc chung của d1 và d2 P NChứng minh : “Đường thẳng MN là đường vuông chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 vàd2”Ta có: d1 ^ MN tại N và d 2 ^ MN tại M nên MN là đường vuông chung của hai đườngthẳng chéo nhau d1 và d2Nên ta có cách lập phương trình đường vuông góc chung trong trường hợp d1 ^ d 2 này là: d2B1: Lập phương trình mp(P) : (P) É d1 và (P) ^ d 2 r uB2: Tìm M: M = (P) Ç d 2 r r rB3: Khi đó D là đường thẳng qua M và có VTCP u = éa, b ù ë û M d1 P b. Trong các trường hợp khác ta có thể sử dụng một trong các cách sau Cách 1: r rB1. Tìm vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng d1 là a , VTCP của d2 là b r r r r r r rB2. Tìm u = éa, b ù khi đó u ^ a và u ^ b ë û d1B3. Lập phương trình của : d2 r r · Mặt phẳng (P) sao cho :(P) É d1 và (P) có cặp VTCP ( a, u ) r r r Q · Mặt phẳng (Q) sao cho :(Q) É d2 và (Q) có cặp VTCP ( b, u ) P uB4. Ta có : D = (P) Ç (Q)Phương trình của đường thẳng D được lập từ giao tuyến củahai mặt phẳng (P) và (Q). Ta chứng minh D là đường vuông góc chung của d1 và d2 r r rTa có : u ; a ; b lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng D , d1 và d2 r r r rMà u ^ a và u ^ b nên d1 ^ D và d 2 ^ D r rD = (P) Ç (Q) và (P) É d1 nên d1 và D đồng phẳng mà u ; a không cùng phương nên D cắt d1 r rD = (P) Ç (Q) và (Q) É d2 nên d2 và D đồng phẳng mà u ; b không cùng phương nên D cắt d2 Vậy D là đường vuông góc chung của d1 và d2 Cách 2:B1. Lấy điểm M ( x M ; y M ; z M ) Î d1 , lấy điểm N ( x N ; y N ; z N ) Î d 2 d1 uuuu r M r Khi đó MN = (x N - x M ; y N - y M ; z N - z M ) aB2: Đường thẳng MN là đường vuông góc chung của d1 ...