SKKN: Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực

Đưa ra một số phương pháp giải một số phương trình và hệ phương trình “không mẫu mực”, với phương pháp này giúp đỡ các em học sinh luyện tập và làm quen với phương trình và hệ phương trình “không mẫu mực” để từ đó biết cách tư duy suy nghĩ trước những phương trình và hệ phương trình “không mẫu mực” khác. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến “Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực”.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
SKKN: Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMPHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNGTRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰCA/ Đặt vấn đề: Trong quá trình học Toán, các em học sinh có thể gặp các bài toán màđầu đề có vẻ lạ, không bình thường, những bài toán không thể giải trực tiếpbằng các quy tắc, các phương pháp quen thuộc. Những bài toán như vậythường được gọi là “không mẫu mực”, có tác dụng không nhỏ trong việc rènluyện tư duy Toán học và thường là sự thử thách đối với học sinh trong cáckỳ thi HSG, thi vào cấp 3, các lớp chuyên toán,… Tuy nhiên quen thuộc hay“không mẫu mực”, phụ thuộc vào trình độ của người giải Toán. Tôi xin đưara một số phương pháp giải một số phương trình và hệ phương trình “khôngmẫu mực”, với phương pháp này tôi đã giúp đỡ các em học sinh luyện tập vàlàm quen với phương trình và hệ phương trình “không mẫu mực” để từ đóbiết cách tư duy suy nghĩ trước những phương trình và hệ phương trình“không mẫu mực” khác.B. Giải quyết vấn đềI. Phần I: Phương trình.1. Phương trình một ẩn: Với phương trình một ẩn có 4 phương pháp thường vận dụng là: Đưavề phương trình tích, áp dụng các bất đẳng thức chứng minh nghiệm duynhất và đưa về hệ phương trình.a. Phương pháp đưa về phương trình tích.* Các bước: - Tìm tập xác định của phương trình. - Dùng các phép biến đổi đại số, đưa phương trình về dạngf(x).g(x)….h(x) = 0 (gọi là phương trình tích). Từ đó suy ra f(x) = 0; g(x) =0; … h(x) = 0 là những phương trình quen thuộc. Nghiệm của phương trìnhlà tập hợp các nghiệm của các phương trình f(x) = 0, g(x) = 0, … h(x) = 0thuộc tập xác định. - Đôi khi dùng ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ân đưa phươngtrình về dạng tích (với ẩn phụ). Giải phương trình với ẩn phụ, từ đó tìmnghiệm của phương trình đã cho. - Dùng cách nhóm số hạng, hoặc tách các số hạng…để đưa phươngtrình về dạng quen thuộc mà ta đã biết cách giải .*Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Giải phương trình: x 2  10 x  21  3 x  3  2 x  7  6ĐK: x ≥ -3. x 2  10 x  21  3 x  3  2 x  7  6 ( x  3)( x  7)  3 x  3  2 x  7  6  0 x  3 ( x  7  3)  2( x  7  3)  0 ( x  7  3)( x  3  2)  0  x7 3 0  x7 3    x32  0   x3  2 Vì 2 vế đều dương nên ta có: x  7  9  x  2(TM )  x  3  4  x  1(TM )Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là S =  ;2 . 1Ví dụ 2: Giải phương trình: 3x+1 + 2x.3x - 18x - 27 = 0 TXĐ: x  R. Giải x+1 x 3 + 2x.3 - 18x - 27 = 0 x  3 (3 + 2x) – 9(2x + 3) = 0 x  (2x + 3) (3 - 9) = 0 2 x  3  0  x 3  9  0  3  x   2  x  2 3Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  ;2    2 Ví dụ 3: Giải phương trình: (x2 - 4x + 2)3 = (x2 - x - 1)3 - (3x - 2)3; TXĐ: R. 3 3 3áp dụng hằng đẳng thức (a - b) - (a - b ) = -3ab(a - b) (x2 - 4x + 1)3 = (x2 - x - 1) - (3x - 2)3 x 2    3  3 3   x  1  3x  2  x 2  x  1  3 x  2   0 2 2  3( x  x  1)(3x  2)( x  4 x  1)  0  x 2  x  1  0 (1)   3x  2  0 (2)  x 2  4 x  1  0 (3) Giải (1): x2 - x - 1 = 0  = 1 + 4 = 5 > 0, Pt có 2 nghiệm 1 5 1 5 x1  ; x2  2 2Giải (2): 2 3x - 2 = 0  x  . 3Giải (3): x2 - 4x + 1 = 0  ’ = 4 - 1 = 3 > 0, Pt có 2 nghiệm x1  2  3; x 2  2  3 . Vậy tập nghiệm của phương trình là: 1  5 1  5 2  S=  ; ; ;2  3 ;2  3   2 2 3  Ví dụ 4: Giải phương trình: (x - 2)(x - 4)(x + 6)(x + 8) = -36TXĐ: R   x  2  x  6  x  4( x  8)  36  ( x 2  4 x  12)( x 2  4 x  32)  36(*) Đặt y = x2 + 4x - 12  x 2  4 x  32  y  20 Phương trình (*) trở thành: y ( y  20 )  36  y 2  20 y  36  0  ( y  18)( y  2)  0  y  18  0  y  18  y  2  0  y  2  x 2  4 x  12  18(1)  2  x  4 x  12  2( 2)  Giải (1) ta có: x 2  4 x  12  18  x 2  4 x  30  0   4  30  34  0 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1  2  34 ; x 2  2  34 Giải (2) ta có: x 2  4 x  12  2  x 2  4 x  14  0   4  14  18  0 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1  2  18  2  3 2 x 2  2  18  2  3 2Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  34  2; 34  2;3 2  2;3 2  2 Ví dụ 5: Giải phương trình: ...