SKKN: Ứng dụng lý thuyết số phức để giải hệ phương trình

Sáng kiến “Ứng dụng lý thuyết số phức để giải hệ phương trình” nhằm trang bị thêm cho học sinh một công cụ hữu hiệu để giải hệ phương trình nhằm giúp các em thành công trong các kỳ thi vì đây là một loại toán thường gặp ở các kỳ thi Đại học và học sinh giỏi các cấp. Mời quý thầy cô và các bạn tham khảo sáng kiến trên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
SKKN: Ứng dụng lý thuyết số phức để giải hệ phương trình SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. ĐẶT VẤN ĐỀ : Trong quá trình giảng dạy toán việc hướng dẫn học sinh giải một bài toán bằngnhiều phương pháp khác nhau là rất quan trọng và cần thiết. Đặc biệt mỗi khi họcsinh tiếp cận với một lý thuyết mới, người thầy phải khai thác các ứng dụng quantrọng và ưu việt của nó để trang bị cho học sinh, có như thế học sinh mới hứng thú,năng động và sáng tạo trong việc học của mình. Trong chương trình toán phổ thông trung học số phức vừa được đưa vào giảngdạy đại trà được 2 năm. Ứng dụng của số phức được giới thiệu ở sách giáo khoa rấtít, các tài liệu viết về ứng dụng số phức rất hiếm. Do đó với thời lượng thời gian cũngnhư lý thuyết mà các em được học ở trường người thầy phải nghiên cứu và bố trí dạycho các em một số ứng dụng quan trọng và nổi bật nhất cho các em. Bản thân tôinhiều năm được phân công giảng dạy các lớp năng khiếu nên điều kiện tiếp xúc vớicác ứng dụng của lý thuyết số phức để giải toán khá nhiều vì vậy khi trực tiếp giảngdạy phần số phức ở chương trình toán phổ thông tôi đã trang bị cho học sinh một sốứng dụng mà sách giáo khoa không đề cập đến và dĩ nhiên dạy ứng dụng đó ở thờiđiểm nào, dạy như thế nào thì sau đây tôi xin chia sẻ với các đồng nghiệp một bài dạy“Ứng dụng lý thuyết số phức để giải hệ phương trình” nhằm trang bị thêm cho họcsinh một công cụ hữu hiệu để giải hệ phương trình nhằm giúp các em thành côngtrong các kỳ thi vì đây là một loại toán thường gặp ở các kỳ thi Đại học và học sinhgiỏi các cấp. B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN: Để học sinh hiểu một cách sâu sắc và có cơ sở lý luận tôi đã dẫn dắt học sinhvào vấn đề đơn giản như sau : Tìm căn bậc hai của số phức z = a + bi Ta gọi w = x + iy là một căn bậc hai của z. Ta có : w2 = z Û x 2 - y 2 + 2 xyi = a + bi ì x2 - y 2 = a Vậy ta có hệ : í î2 xy = b Như thế, một hệ phương trình có thể “xuất xứ” từ các phương trình nghiệmphức. Bằng cách đi ngược lại quá trình từ phương trình suy ra hệ phương trình. Ta sẽđược quá trình hệ phương trình è phương trình. Giải hệ phương trình, so sánh phầnthực và phần ảo, ta được nghiệm của hệ phương trình. I. Bước chuẩn bị 1/ Nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết số phức, tìm ra những ứng dụng cầnthiết nhất từ đó xây dựng chương trình để đưa vào truyền đạt cho học sinh. 2/ Chọn bài tập mẫu Chọn một số bài tập mẫu tiêu biểu phù hợp được các đối tượng : Trung bình,khá và giỏi để đưa vào giảng dạy nhằm củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo,rèn luyện được kỹ thuật ứng dụng của lý thuyết số phức. 3/ Phân phối thời gian Cần phân bố thời gian hợp lý, có phương án đối phó với những tình huốngkhông trả lời được của học sinh. 4/ Bước chuẩn bị của thầy và trò 4.1- Chuẩn bị của trò : * Các kiến thức cơ bản a) Định nghĩa * ĐN1. Một số phức là một biểu thức dạng : a + bi . a, b Î ¡ , số i thỏa mãn : i 2 = -1 . i : đơn vị ảo . a : phần thực . b : phần ảo. * ĐN2. Hai số phức : z = a + bi với a, b Î ¡ z = a’ + b’i với a’, b’ Î ¡ Ta có : ìa = a z = z’ Û í îb = b b) Phép toán về số phức (b 1 ) phép cộng (Định nghĩa và tính chất) (b 2 ) phép trừ (b 3 ) phép nhân (Định nghĩa và tính chất) (b 4 ) phép chia · Số phức liên hợp · Số phức nghịch đảo · Phép chia c) Khai căn bậc hai của số phức * ĐN : Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa z 2 = w được gọi là một cănbậc hai của w. * Cách tìm căn bậc hai của số phức z d) Dạng lượng của số phức4.2- Chuẩn bị của thầy : . Giáo án và các dụng cụ dạy học có liên quan. . Chuẩn bị bài tập chu đáo. . Tìm một số đề thi để giới thiệu. (1) Bài tập mẫu dạy tại lớp : ì x2 + x - y 2 = 5 * Bài 1- Giải hệ : í î2 xy + y = 55 ì x3 - 3 xy 2 = 1 * Bài 2 : Giải hệ : ï 2 í ï3 x y - y = - 3 3 î ì 3x - y ï x + x2 + y 2 = 3 * Bài 3 : Giải hệ ï í ï y - x + 3y = 0 ï î x2 + y2 * Bài 4- Giải hệ : ì æ 1 ö ï 3x . ç1 + ÷=2 ï è x+ yø í ï 7 y . æ1 - 1 ö = 4 2 ï ç ÷ î è x+ yø * Bài 5- Giải hệ : ì æ 12 ö ï x ç1 - ÷=2 ï è 3x + y ø í ï y æ1 + 12 ö = 6 ï ç 3x + y ÷ î è ø * Bài 1- Dụng ý : . Để học sinh sử dụng phương pháp khác gặp rất nhiều trắctrở. . Khai thác phương pháp sử dụng số phức dễ dàng hơn. . Mặt khác để dẫn dắt học sinh đi đến áp dụng số phức bằngcách cho học sinh bình phương ( x + yi )2 = ? * Bài 2, 3- Rèn luyện kỹ năng áp dụng dạng giốn ...