SỐ PHỨC 2

LỜI NGƯỜI DỊCH Hiện nay trường sô phức ℂ được xây dựng theo nhiều cách, trong đó có hai cách đại số thường sử dụng : ℂ là trường phân rã của đa thức bất khả quy trong ℂ , tức là tồn tại i∈ ℂ ,
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
SỐ PHỨC 2 - SỐ PHỨC-Complex Numbers Primer- Paul Dawkins LỜI NGƯỜI DỊCHHiện nay trường sô phức ℂ được xây dựng theo nhiều cách, trong đó có hai cách đại số thườngsử dụng : x2 1(trên ℝ) . x2 1 0 có nghiệm ℂ là trường phân rã của đa thức bất khả quy i2 trong ℂ , tức là tồn tại i∈ ℂ , 1. 2 Xem ℂ = R ={(a;b)}, xây dựng phép toán cộng và nhân thích hợp, rồi chứng minh (ℂ ,+,x) là một trường. Tác giả xây dựng ℂ trên tinh thần này . Phần lớn quy tắc tính được thao tác trên các ví dụ một cách hình thức. Tiếp theo là định nghĩa và cuối cùng kiểm chứng kết quả. Việc xây dựng ℂ của tác giả vừa đảm bảo chính xác vừa dễ hiểu, dễ áp dụng.Tài liệu dành phần đầu nêu định nghĩa số phức và các phép toán .Phần hai nói về bất đẳng thức tam giác.Dạng lượng giác và mũ của số phức được nêu ở phần ba.Phần cuối dùng trình bày về lũy thừa và căn bậc n của một số phức.Đọc tài liệu này: Học sinh, sinh viên có nhu cầu thực hành các phép toán trên số phức, tìm thấy hướng dẫn rõ ràng, chi tiết; Nếu muốn tìm lời giải đáp vì sao tập số phức có nhiều tính chất đẹp mà ℝ không có, sẽ được thỏa mãn; Nếu đã biết một ít về số phức vẫn thấy thú vị. Còn ...tôi thì ít thời gian mà ham nhiều việc, nghĩ rằng thiếu sót không tránh khỏi. Nước đầm Nại đủ sạch, xin rửa tai nghe chỉ giáo.Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 5 - SỐ PHỨC-Complex Numbers Primer- Paul Dawkins1.Tập số phức và các phép toán1.1Định nghĩa tập số phức Cho a,b∈ ℝ . Mỗi biểu thức dạng a+bi được gọi là một số phức2a: phần thực của z.b: phần ảo của z.Tập các số phức ký hiệu là ℂ . a∈ ℝ , a= a+0i=z . Vậy ℝ⊂ ℂ 3Ta cần định nghĩa phép cộng và nhân hai số phứcCho hai số phức z1 a bi, z2 c di . Tổng z1 z2 (a c) (b d )i Tích z1.z2 (ac bd ) (ad bc)i c 0i .4Công thức trên đúng cho trường hợp hai số thực z1 a 0i, z2 z1 z2 (a 0i) (c 0i) acThật vậy z1.z2 (a 0i)(c 0i) ac 2 Điều cuối cùng trong phần này, ta phải chứng minh i 1như một hệ quả của phép nhân. Thật vậy:i2 i.i (0 1i)(0 1i) (0.0 1.1) (0.1 1.0)i 11.2.Các phép toán Khi thực hành cộng và nhân hai số phức, chỉ cần thực hiện theo quy tắc cộng 2 và nhân đa thức với chú ý i 1.2 Dạng đại số của số phức(ND)3 Tồn tại đơn cấu trường :ℝ→ ℂ (ND).4 Hai phép toán cộng, nhân cảm sinh trên ℝ thành hai phép toán cộng và nhân thông thường (ND) .Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 6 - SỐ PHỨC-Complex Numbers Primer- Paul DawkinsVí dụ: Tínha. (58-i)+(2-17i)b. (6+3i)(10+8i)c. (4+2i)(4-2i) Bài giải a. (58-i)+(2-17i)=58-i+2-17i=60-18i b. (6+3i)(10+8i)=60+48i+30i+24i2=60+78i+24(-1)=36+78i c. (4+2i)(4-2i)=16-(2i)2=16+4=20 . bi)(a bi) a 2 b2 . Hê thức nàyPhép nhân hai số phức , cho ta hệ thức : (ađược sử dụng khi chia hai số phức ớ phần sau. Bây giờ xét đến phép trừ và chia hai số phức. Thử làm một cách hình thức ví dụ sau Ví dụ :a. (58 i) (2 17i) 58 i 2 17i 56 16i 6 3i (6 3i) (10 8i) .b. = = 10 8i (10 8i) (10 8i) 60 48i 30i 24i 2 84 18i 84 18 21 9 i= i 100 64 164 164 164 41 82 5i(1 7i) 35 5i 71 5i ic. = 1 7i (1 7i)(1 7i) 50 10 10 Trước khi định nghĩa phép trừ và phép chia hai số phức, ta cần một số chuẩn bị:Số đối của số phức z ký hiệu –z , thỏa mãn z+(-z)=0Trong các trường đại số tổng quát nói chung không có hệ thức z ( 1).zRất may mắn, trong trường ℂ ta có z ( 1).z a biLê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 7 - SỐ PHỨC-Complex Numbers Primer- Paul Dawkins Hiệu hai số phức z1 , z2 : z1 z2 z1 ( z2 )Nên z1 z2 z1 ( z2 ) (a bi) ( c di) (a c) (b d )i Điều cần chuẩn bị cho định nghĩa thương hai số phức là số nghịch đảo của một số phức.Số nghịch đảo của số phức z (≠ 0) là một số phức ký hiệu z-1 sao cho z.z-1=1.Số nghịch đảo của số phức được làm rõ qua đoạn sau:Giả sử z-1=u+vi là số nghịch đảo của z=a+bi , z.z-1=(a+bi)(u+vi)=(au-bv)+(av+bu)i=1 a u au bv 1 a2 b2 ⇒Nên av bu 0 b v a b2 2 a b 1⇒z i. a2 ...