Thiết kế bộ điều khiển LQR dịch chuyển có chọn lọc các điểm cực

Bài báo này trình bày một phương pháp để thiết kế bộ điều khiển LQR dịch chuyển có chọn lọc các điểm cực cho các hệ tuyến tính dừng. Để dịch chuyển một hoặc một số điểm cực không mong muốn của hệ hở sang bên trái mặt phẳng phức trong khi các điểm cực còn lại không bị thay đổi, các ma trận trọng số của phiếm hàm tối ưu LQR được chọn dựa trên các vector riêng bên trái tương ứng với các giá trị riêng không mong muốn. Sau đó, chúng tôi chỉ ra miền xác định của các điểm cực mới. Một ví dụ minh họa được giới thiệu để minh chứng các kết quả lý thuyết đã đề xuất.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Thiết kế bộ điều khiển LQR dịch chuyển có chọn lọc các điểm cựcTHIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN LQR DỊCH CHUYỂN CÓ CHỌNLỌC CÁC ĐIỂM CỰCNguyễn Đình HòaĐại học Bách khoa Hà NộiTÓM TẮT:Bài báo này trình bày một phương pháp để thiết kế bộ điều khiển LQR dịch chuyển có chọn lọc các điểm cực cho cáchệ tuyến tính dừng. Để dịch chuyển một hoặc một số điểm cực không mong muốn của hệ hở sang bên trái mặt phẳngphức trong khi các điểm cực còn lại không bị thay đổi, các ma trận trọng số của phiếm hàm tối ưu LQR được chọn dựatrên các vector riêng bên trái tương ứng với các giá trị riêng không mong muốn. Sau đó, chúng tôi chỉ ra miền xác địnhcủa các điểm cực mới. Một ví dụ minh họa được giới thiệu để minh chứng các kết quả lý thuyết đã đề xuất.Từ khóa: Phương pháp gán điểm cực; Phương pháp LQR; Dịch chuyển điểm cực có chọn lọc; Hệ tuyến tính dừng.ĐẶT VẤN ĐỀXét một hệ tuyến tính dừng có mô hình trạngthái:xɺ = Ax + Bu, x ∈ ℝ n , u ∈ ℝ m .(0.1)Hiện nay, các phương pháp phổ biến để thiết kếbộ điều khiển gán điểm cực cho các hệ tuyến tínhdừng (0.1) bao gồm phương pháp trực tiếp, phươngpháp Ackerman, phương pháp modal [1]. Mỗiphương pháp lại có ưu hoặc nhược điểm riêng,chẳng hạn phương pháp trực tiếp thì rất thủ công vàkhông tổng quát. Phương pháp Ackerman có côngthức tổng quát nhưng chỉ áp dụng được cho các hệcó một đầu vào. Phương pháp modal có thể áp dụngcho hệ có nhiều đầu vào nhưng cần một giả thiếtquan trọng là ma trận hệ thống có thể biến đổi thànhdạng đường chéo (diagonal) hoặc khối đường chéo(block- diagonal). Ngoài ra phương pháp modal còncó một đặc điểm nữa là nó chỉ có thể dịch chuyểnđược một số lượng các điểm cực không vượt quá( )rank B , nghĩa là không vượt quá m . Đây có thểcoi là nhược điểm mà cũng có thể coi là ưu điểm vìtrong nhiều trường hợp ta không cần thiết dịchchuyển hết tất cả các điểm cực của hệ hở.Ngoài các phương pháp trên, ta còn có thể thiếtkế bộ điều khiển gán điểm cực dựa trên phương phápLQR. Điều này có thể thực hiện được bằng cáchtrước hết thiết kế bộ điều khiển LQR để dịch chuyểncó chọn lọc một số điểm cực như trong các tài liệu[2-5], sau đó dựa vào các kết quả ấy để tìm các matrận trọng số sao cho các điểm cực không mongmuốn được dịch chuyển chính xác đến các vị trí biếttrước. Tuy nhiên, các phương pháp trong [2-5] tồnSĐT :0949823777. Email: hoa.nguyendinh@hust.edu.vntại một số nhược điểm như cần một số giả thiết vềcác ma trận trọng số trong phiếm hàm tối ưu LQR.Hơn nữa, các kết quả trong [2-5] mới chỉ xét đếnviệc thiết kế bộ điều khiển LQR để dịch chuyển cóchọn lọc các điểm cực không mong muốn và xácđịnh vùng mà chúng chuyển đến, chứ chưa xét đếnviệc tìm các ma trận trọng số để có thể dịch chuyểncác điểm cực một cách chính xác đến các vị trí mongmuốn.Để tiện cho việc trình bày, sau đây chúng tôi sẽđịnh nghĩa cụ thể hai bài toán khác nhau tương ứngvới hai bước ở trên để thiết kế một bộ điều khiển gánđiểm cực LQR.Bài toán thứ nhất: Thiết kế bộ điều khiển LQR đểdịch chuyển có chọn lọc một số điểm cực khôngmong muốn của hệ (0.1) sang bên trái mặt phẳngphức.Bài toán thứ hai: Cho trước một số điểm cực mongmuốn bên trái mặt phẳng phức, thiết kế bộ điềukhiển LQR để dịch chuyển có chọn lọc các điểm cựckhông mong muốn của hệ (0.1) tới các vị trí biếttrước đó.Bài báo này đề xuất một số kết quả mới trongviệc sử dụng phương pháp LQR để thiết kế bộ điềukhiển dịch chuyển có chọn lọc các điểm cực cho hệ(0.1), từ đó tạo cơ sở để giải bài toán thứ hai hay nóicách khác là tạo cơ sở cho bước tiếp theo để giải bàitoán thiết kế bộ điều khiển LQR gán điểm cực. Cụthể hơn, bài báo chỉ ra cách chọn các ma trận trọngsố của phiếm hàm tối ưu LQR sao cho các điểm cựckhông mong muốn của hệ (0.1) được dịch chuyển cóchọn lọc sang bên trái mặt phẳng phức, mà khôngcần đến các giả thiết như ở trong [2-5]. Tiếp đó,miền bên trái mặt phẳng phức mà các điểm cực cóthể được dịch chuyển đến được chỉ ra một cáchtường minh. Do khuôn khổ của bài báo nên lời giảicho bài toán thứ hai không được trình bày ở đây màsẽ được giới thiệu trong các bài báo khác.Các phần tiếp theo của bài báo được trình bàynhư sau. Phần II giới thiệu các kết quả cho bài toánthuận với ba mục con cho phần dịch chuyển có chọnlọc một điểm cực thực, một cặp điểm cực phức liênhợp và một cặp điểm cực thực. Phần III giới thiệumột ví dụ minh họa. Phần IV là kết luận và cáchướng mở rộng của bài báo.điểm cực thực và dịch chuyển hai điểm cực phứcliên hợp hoặc hai điểm cực thực. Các kết quả này cóthể được tổng quát hóa cho trường hợp dịch chuyểnmột số lượng bất kì các điểm cực và sẽ được giớithiệu trong các bài báo sau. Ngoài ra, ta cũng có thểlặp lại nhiều lần phương pháp dịch chuyển một hoặchai điểm cực này để dịch chuyển tất cả các điểm cựckhông mong muốn.A. Dịch chuyển có chọn lọc một điểm cực thựcσ A biểu thị cho tập các giá trị riêng của ma trậnGiả sử λ ∈ ℝ là điểm cực thực không mongmuốn của hệ (0.1). Gọi v T ≠ 0T là vector riên ...