TIẾP TUYẾN - TIỆN CẬN TRONG BÀI TOÁN KHỎA SÁT HÀM SÔ

TÀI LIỆU THAM KHẢO - TIẾP TUYẾN - TIỆN CẬN TRONG BÀI TOÁN KHỎA SÁT HÀM SÔ
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
TIẾP TUYẾN - TIỆN CẬN TRONG BÀI TOÁN KHỎA SÁT HÀM SÔ TIẾP TUYẾN - TIỆM CẬN TRONG BÀI TOÁN KHỎA SÁT HÀM SÔ Ví dụ 1. Cho hàm số y = − x + 3x + 3 ( m − 1) x − 3m − 1 ( 1) 3 2 2 2 a. Khảo sát và vẽ đồ thị (1) với m=1 b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.GIẢIa. Học sinh tự vẽ đồ thị .b. Ta có : y = −3x + 6 x + 3 ( m − 1) 2 2- Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì : y = −3x + 6 x + 3 ( m − 1) =0 có hai nghiệm phân biệt 2 2 ⇔ ∆ = 9 + 9 ( m2 − 1) > 0 ⇒ 9m 2 > 0; ⇔ m ≠ 0 (*) −3 − 3m   x1 = −3 = m + 1 ⇒  x = −3 + 3m = m − 1 2 −3 - Với điều kiện (*) hàm số có cực đại , cực tiểu .Gọi A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) là hai điểm cựcđại ,cực tiểu của hàmrsuuu. Nếu A,B cùng với O tạo thành tam giác vuông tại O thì OA ố uuu rvuông góc r ới OB uuu .OB = 0 uuu uuu v : OA uuu r rr- Ta có : OA ( x1 ; y1 ) ; OB ( x2 ; y2 ) ⇒ OA.OB = x1 x2 + y1 y2 = 0 ( 1)- Bằng phép chia phương trình hàm số cho đạo hàm của nó , ta có : ( )  x 1 − x 3 + 3 x 2 + 3 ( m 2 − 1) x − 3m 2 − 1 =  − ÷ −3x 2 + 6 x + 3 ( m 2 − 1) + 2m 2 x − 2 ( m 2 + 1)  3 3- Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị : y = 2m x − 2 ( m + 1) 2 2- Do đó : y1 = 2m 2 x1 − 2 ( m 2 + 1) ; y2 = 2m 2 x2 − 2 ( m 2 + 1) ⇒ y1. y2 = 4m 2 ( x1 x2 ) − 4 ( m 2 + 1) ( x1 + x2 ) + 4 ( m 2 + 1) 2  x1 + x2 = 2- Áp dụng Vi-ét cho (1)  , thay vào :  x1.x2 = 1 − m 2 ⇒ y1 y2 = 4  m 4 ( 1 − m2 ) − 2(m 2 + 1) + (m 2 + 1) 2  = 4 ( m 2 + 1) ( 1 + m 2 − m4 )  - Vậy : x1 x2 + y1 y2 = 0 ⇔ (1 − m ) + 4 ( m − 1) ( 1 + m − m ) = 0 ⇔ ( m − 1)  4 ( 1 + m − m ) − 1 = 0 2 2 2 4 2 2 4    m = ±1  m = ±1 m2 − 1 = 0Hay : ( m − 1) ( 3 + 4m − 4m ) ⇔ 2 3⇒ m = ± 6 ( ) = 0; ⇒  2 2 4 * m = −4 m + 4 m + 3 = 0 4 2     2 2Kết luận : Với m thỏa mãn (*) thì hai điểm cực đại , cực tiểu của hàm số cùng với Otạo thành tam giác vuông tại O . Ví dụ 2.Cho hàm số y = x − 3x + 4 ( C ) 3 2 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 1 b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(-1;0) với hệ số góc là k ( k thuộc R). Tìm k để đường thẳng d cắt (C)tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm B,C ( B,C khác A ) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.GIẢIa. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)b. Đường thẳng d đi qua A(-1;0) với hệ số góc là k , có phương trình là : y=k(x+1)=kx+k.  x 3 − 3 x 2 + 4 = kx + k ( 1) - Nếu d cắt (C) thì :  ...