Tính liên tục của hàm gap cho bài toán bất đẳng thức tựa biến phân loại Minty

Bài viết trình bày việc xét bài toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ yếu hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty và xây dựng hàm gap tham số cho bài toán này. Sau đó, chúng tôi thiết lập các tính nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên và liên tục cho hàm gap tham số này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tính liên tục của hàm gap cho bài toán bất đẳng thức tựa biến phân loại Minty 420 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM GAP CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TỰA BIẾN PHÂN LOẠI MINTY SV. Ngô Thị Hoài An ThS. Nguyễn Văn Hưng ThS. Võ Minh Tâm Tóm tắt. Trong bài viết này, chúng tôi xét bài toán bất đẳng thức tựa biến phânvéctơ yếu hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty và xây dựng hàm gap tham số cho bàitoán này. Sau đó, chúng tôi thiết lập các tính nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên vàliên tục cho hàm gap tham số này. Các kết quả của chúng tôi là cải thiện và mở rộngmột số kết quả của Lalitha và Bhatia [J. Optim. Theory Appl. 148 (2011), 281-300].1. Mở đầu Lý thuyết tối ưu là một trong lĩnh vực kinh điển của Toán học có nhiều ảnhhưởng đến nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ, kinh tế và xã hội. Trong những nămgần đây, lý thuyết tối ưu phát triển rất mạnh mẽ với rất nhiều công trình nghiên cứu vềnhiều hướng khác nhau của nhiều tác giả trong và ngoài nước. Những hướng nghiêncứu trên các loại bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằngđược khai thác rất sâu sắc, chẳng hạn như tính đóng, tính compắc, tính ổn định baogồm các loại nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên, liên tục, sự tồn tại và các loại hội tụcho tập nghiệm,... Bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ trong không gian Ơclít hữu hạn chiều đãđược giới thiệu lần đầu tiên bởi Giannessi [6]. Về sau, có rất nhiều tác giả đã mở rộngvà nghiên cứu cho bài toán này trong những không gian khác nhau. Tính ổn địnhnghiệm cho các loại bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ cũng rất được quan tâmvới rất nhiều công trình nghiên cứu đã được công bố.Có rất nhiều công cụ nghiên cứutính ổn định nghiệm, trong đó công cụ hàm gap tỏ ra khá hiệu quả. Khái niệm hàm gapđược giới thiệu đầu tiên bởi Auslender (1976) và được sử dụng cho việc khảo sát sựtồn tại nghiệm cho bài toán tối ưu, xem [1]. Ngoài ra, hàm gap cũng được sử dụng rấthiệu quả để xét tính ổn định và đặt chỉnh của tập nghiệm hay tính toán biên sai (errorbound) cho bài toán tối ưu tham số và sau đó được rất nhiều tác giả mở rộng đến cácloại bài toán khác nhau về bất đẳng thức biến phân và cân bằng, xem [4,5,7,9-13,17]và các tài liệu có liên quan khác. Đặc biệt, trong [12] Lalitha và Bhatia đã sử dụnghàm gap để nghiên cứu tính ổn định cho bài toán bất đẳng thức tựa biến phân vôhướng phụ thuộc tham số loại Minty. Bởi những ứng dụng hiệu quả của hàm gap trong việc nghiên cứu tính ổn địnhcủa tập nghiệm cho các loại bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân và cânbằng trong những tài liệu giới thiệu trên và động lực nghiên cứu từ [12], trong bài viếtnày, chúng tôi sẽ xây dựng hàm gap tham số cho một loại bài toán bất đẳng thức tựabiến phân véctơ yếu hỗn hợp phụ thuộc tham số loại Minty (viết tắt, (MQVIP)). Đồngthời, các tính nửa liên tục và liên tục của hàm gap tham số cũng được khảo sát. Các kếtquả của chúng tôi là cải thiện và mở rộng so với những kết quả nghiên cứu trong [12]. Trong mục tiếp theo, chúng tôi thiết lập bài toán (MQVIP) và trình bày một sốkiến thức cơ bản liên quan đến những kết quả tiếp theo. Trong Mục 3, hàm gap thamsố được xây dựng cho bài toán (MQVIP), các tính chất về nửa liên tục và liên tục củahàm gap tham số cũng được xem xét. Những nhận xét kết luận và các hướng nghiêncứu tiếp tục cho những kết quả trong bài viết này được trình bày trong Mục 4. 4212. Giới thiệu bài toán và những kiến thức cơ bản Lấy X là một không gian véctơ tôpô Hausdorff và  là một không gian tôpôHausdorff. Cho L( X , R n ) là không gian của tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X n)vào Rn và K : X    2 X ,T : X    2L( X ,R là các ánh xạ đa trị,g : X  X    X và f : X  X    R n là các ánh xạ đơn trị, liên tục. Ký hiệu z , x là giá trị của toán tử tuyến tính z  L( X , R n ) tại x  X , ta luôn giả sử rằng .,.là liên tục. Với    , chúng ta xét bài toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ yếu hỗnhợp phụ thuộc tham số loại Minty sau: (MQVIP) Tìm x  K ( x ,  ) sao cho  z , g ( y, x ,  )  f ( y, x ,  )  intR n , y  K ( x ,  ), z  T ( y,  ).Trong đó chúng ta ký hiệu số không âm và phần trong của số không âm của R n bởi R n = {t = (t1, t2 ,..., tn )  R n | ti  0, i = 1, 2,..., n}và intR n = {t = (t1, t2 ,..., tn )  R n | ti > 0, i = 1, 2,..., n}ở đây  được ký hiệu là chuyển vị. Với mỗi    , chúng ta đặt E( ) := {x  X | x  K ( ...