Toán học lớp 11: Mở đầu về dãy số (phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng

Tài liệu "Toán học lớp 11: Mở đầu về dãy số (phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng" cung cấp 1 số bài tập ví dụ kèm theo hướng dẫn giải và bài tập tự luyện. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và bổ sung kiến thức đạt hiệu quả.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán học lớp 11: Mở đầu về dãy số (phần 1) - Thầy Đặng Việt HùngKhóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th yNG VI T HÙNGFacebook: LyHung9502. MTh yI. NH NGHĨA DÃY SU V DÃY S- P1ng Vi t Hùng [ VH]+ Dãy s vô h n M t hàm s u xác nh trên t p s t nhiên N ư c g i là m t dãy s vô h n (hay g i là dãy s ). Kí hi u là u(n) ho c vi t g n là (un). + Dãy s h u h n M t hàm s u xác nh trên t p M = {1; 2;3...m} ư c g i là m t dãy s h u h n. Kí hi u là u(n) ho c vi t g n là (un).II. CÁC CÁCH CHO M T DÃY SDãy s cho b i công th c c a s h ng t ng quát Khi ó un = f (n) trong ó f là m t hàm s xác2nh.Ví d 1 [ VH]: V i un = n − 1; n ≥ 2 ⇒ u1 = 3; u2 = 8; u3 = 15... Ví d 2 [ VH]: Vi t 5 s h ng u tiên c a các dãy s sau: 3n + 1 1 + (−2) n a) un = 2 b) un = n +1 n +1 d) un =2n + 1 2n − 1c) un =1 n +1 − nne) un =n +1 n2 + 1 1 f) un =  1 +   nDãy s cho b i h th c truy h i u ho c m t vài s h ng u. u = a u = a; u2 = b ho c  1 Có hai d ng cho s h ng b i h th c truy h i thư ng g p là  1 un = f (un−1 ) un = f (un−1; un−2 ) u = 2 Ví d 1 [ VH]:  1 ⇒ u1 = 2; u2 = 3u1 + 1 = 7; u3 = 3u2 + 1 = 22... un = 3un −1 + 1 Ví d 2 [ VH]: Vi t 5 s h ng u tiên c a dãy s . D oán công th c un và ch ng minh công th c ó b ng phương pháp quy n p? u1 = 3 u1 = 1 u1 = −1  a)  b)  c)  2 un +1 = un + 2n + 1; n ≥ 1 un +1 = un + 3; n ≥ 1 un +1 = 1 + un ; n ≥ 1  Hư ng d n gi i: u1 = 1 a)  ⇒ u1 = 1; u2 = u1 + 3 = 4; u3 = u2 + 5 = 9; u4 = u3 + 7 = 16; u5 = u4 + 9 = 25. un +1 = un + 2n + 1 T ó ta có th nh n th y un = n 2 ; n ≥ 1, (*) Ta ch ng minh (*) b ng quy n p. +) V i n = 1 ta có u1 = 1, v y (*) úng. +) Gi s (*) úng v i n = k, t c là uk = k 2 ; k ≥ 1. Khi ó, dãy s xác nh ư c s h ng+) Ta c n ch ng minh (*) úng v i n = k + 1, t c là uk +1 = (k + 1)2 ; k ≥ 0. Th t v y, uk +1 = uk + 2k + 1 = k 2 + 2k + 1 = (k + 1)2 ⇒ (*) úng. V y un = n 2 ; n ≥ 1. u1 = −1 b)  ⇒ u1 = −1; u2 = u1 + 3 = 2; u3 = u2 + 3 = 5; u4 = u3 + 3 = 8; u5 = u4 + 3 = 11. un +1 = un + 3 T ó ta có th nh n th y un = 3n − 4, (*) Ta ch ng minh (*) b ng quy n p. +) V i n = 1 ta có u1 = −1, v y (*) úng v i n = 1. +) Gi s (*) úng v i n = k, t c là uk = 3k − 4.Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VNcó s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th yNG VI T HÙNGFacebook: LyHung95+) Ta c n ch ng minh (*) úng v i n = k + 1, t c là uk +1 = 3(k + 1) − 4. Th t v y, uk +1 = uk + 3 = 3k − 4 + 3 = 3k − 1 = 3(k − 1) + 4 ⇒ (*) úng. V y un = 3n − 4.u1 = 3  2 2 2 c)  ⇒ u1 = 3 = 9; u2 = 1 + u12 = 10; u3 = 1 + u2 = 11; u4 = 1 + u3 = 12; u5 = 1 + u4 = 13. 2 un +1 = 1 + un  Ta nh n th y un = n + 8, (*) Ta ch ng minh (*) b ng quy n p. +) V i n = 1 ta có u1 = 3, v y (*) úng v i n = 1. +) Gi s (*) úng v i n = k, t c là uk = k + 8.+) Ta c n ch ng minh (*) úng v i n = k + 1, t c là uk +1 = (k + 1) + 8 = k + 92 Th t v y, uk +1 = 1 + uk = 1 + k + 8 = k + 9 ⇒ (*) úng.V y un = n + 8.Ví d 3 [ VH]: Cho dãy s (un ) xác a) Tính u2, u3, u4. b) Ch ng minh r ng un +3 = un ∀n ∈ »*u1 = 1  nh b i công th c  3 2 5 un +1 = − 2 un + 2 un + 1; n ≥ 1 Hư ng d n gi i: u1 = 1 3 5 3 2 5 3 2 5  a) Ta có  ⇒ u2 = − u12 + u1 + 1 = 2; u3 = − u2 + u2 + 1 = 0; u4 = − u3 + u3 + 1 = 1. 3 2 5 2 2 2 2 2 2 un +1 = − 2 un + 2 un + 1  b) Ta ch ng minh un +3 = un , (*) ∀n ∈ »* b ng quy n p. + V i n = 1 ta có u4 = u1, úng theo ph n a. + Gi s (*) úng v i n = k, t c là uk +3 = uk . + Ta ch ng minh (*) úng v i n = k + 1, t c c n ch ng minh uk + 4 = uk +1 3 2 5 3 2 5 Th t v y, theo cách cho dãy s ta có uk + 4 = − uk +3 + uk +3 + 1 = − uk + uk + 1 = uk +1 ⇒ (*) úng. 2 2 2 2 * V y un +3 = un ∀n ∈ » . Ví d 4 [ VH]: Vi t 6 s h ng u tiên c a các dãy s sau và d oán s h ng t ng quát c a dãy s ó. u1 = 1 u1 = 1 u = 1   a)  b)  c)  1 un 2 un +1 = un + 2n + 1; n ≥ 1 un +1 = un + 1; n ≥ 1 un +1 = u + 1 ; n ≥ 1  n /s: a) un = n.III. DÃY S TĂNG, DÃY S GI M1 b) un = . nc) un = n2 .Dãy s (un) ư c g i là tăng n u un < un+1; ∀n ∈ »*. Dãy s (un) ư c g i là gi m n u un > un +1; ∀n ∈ »* . M t dãy s tăng, gi m ư c g i chung là dãy s ơn i u. Phương pháp kh o sát tính ơn i u c a m t dãy s Phương pháp 1: Xét hi u H = un+1 − un +) N u H > 0 thì dãy s +) N u H < 0 thì dãy s ã cho là dãy tăng. ã cho là dãy gi m.un +1 un +) N u T > 1 ⇔ un+1 > un ⇒ dãy s ã cho là dãy tăng. +) N u T < 1 ⇔ un+1 < un ⇒ dãy s ã cho là dãy gi m. Phương pháp 2: N u un > 0 thì ta l p t s T =Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VNcó s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th yNG VI T HÙNGn . n +12Facebook: LyHung95n +1 − n . nVí d 1 [ VH]: Xét tính ơn i u c a các dãy s sau: n a) un = 2n + 3. b) un = n . 2c) un =d) un =Hư ng d n gi i: a) Theo cách cho dãy s ta ư c un = 2n + 3; un +1 = 2(n + 1) + 3 = 2n + 5 ⇒ un +1 − un = (2n + 5) − (2n + 3) > 0 Suy ra un +1 > un ⇒ dãy s ã cho là dãy tăng. b) Ta có un =Gi s n 2n ; un +1 = n + 1 un+1 n + 1 2n 1 n + 1 1 n + 1 ⇒ = n +1 . = = un 2 n 2n+1 2 n 2 nun +1 1 n + 1 1 n +1 = >1⇔ > 1 ⇔ n + 1 > 4n ⇔ 3n < 1 ⇒ vô lý. 2 4 n un n un +1 < 1 ⇔ un +1 < un ⇒ dãy s un ã cho là dãy s gi m.V yc) Ta có un ==n n +1 n +1 n +1 n (n + 1)(n2 + 1) − n(n 2 + 2n + 2) ; un+1 = = 2 ⇒ un+1 − un = 2 − 2 = (n + 1)2 + 1 n + 2n + 2 (n2 + 1)(n 2 + 2n + 2) n2 + 1 n + 2n + 2 n + 1n3 + n 2 + n + 1 − n 3 − 2 n 2 − 2n −n2 − n + 1 = 2 < 0 ∀n ≥ 1 ⇒ (un ) là dãy s gi m. (n 2 + 1)(n 2 + 2n + 2) (n + 1)(n 2 + 2n + 2)n +1 − n n +1 n+2 = − 1 ⇒ un +1 = −1 n n n +1  n + 2   n +1  n+2 n + 1 n n + 2 − (n + 1) n + 1) Khi ó ta có un +1 − un =   n + 1 − 1 −  n − 1 = n + 1 − n =    n(n + 1)     Gi s un +1 − un > 0 ⇔ n n + 2 − (n + 1) n + 1) > 0 ⇔ n n + 2 > (n + 1) n + 1) ⇔ n 2 ( n + 2) > (n + 1)3d) un =⇔ n3 + 2n2 > n3 + ...