Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Xác định quy luật biên phi tuyến và xác định nguồn trong các quá trình truyền nhiệt

Luận án nhằm chứng minh tính khả vi theo nghĩa Fréchet của phiếm hàm cần tối ưu hóa, đưa ra công thức tính đạo hàm bằng bài toán liên hợp. Với bài toán xác định nguồn trong các quá trình truyền nhiệt, tác giả đưa ra một cách tiếp cận mới có ý nghĩa thực tế để giải bài toán xác định nguồn nhiều chiều với hệ số phụ thuộc thời gian.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Xác định quy luật biên phi tuyến và xác định nguồn trong các quá trình truyền nhiệt BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN BÙI VIỆT HƯƠNG XÁC ĐỊNH QUY LUẬT BIÊN PHI TUYẾN VÀ XÁC ĐỊNH NGUỒNTRONG CÁC QUÁ TRÌNH TRUYỀN NHIỆT Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 62 46 01 02TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN–2015 Luận án được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái NguyênNgười hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Đinh Nho HàoPhản biện 1: ....................................................Phản biện 2: ....................................................Phản biện 3: .................................................... Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận án cấp Đại học họptại Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên............................................................................................................................................................................................... Vào hồi.......giờ........ngày........tháng ........năm..........Có thể tìm luận án tại: - Thư viện Quốc gia Hà Nội - Trung tâm học liệu – Đại học Thái Nguyên - Thư viện trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái NguyênMở đầu Các quá trình truyền nhiệt hay khuếch tán thường được mô hình hóa bằngbài toán biên cho phương trình parabolic: khi miền vật lý, hệ số của phươngtrình, điều kiện ban đầu và điều kiện biên được biết, người ta nghiên cứu bàitoán biên này và dựa vào nghiệm của bài toán đưa ra một dự đoán về hiệntượng đang nghiên cứu. Đây là bài toán thuận cho quá trình mà ta đang xét.Tuy nhiên, trong thực tế, nhiều khi miền vật lý, hoặc hệ số của phương trình,hoặc điều kiện biên, điều kiện ban đầu không được biết cụ thể mà ta phải xácđịnh chúng qua các đo đạc gián tiếp, để qua đó nghiên cứu lại quá trình. Đâychính là những bài toán ngược với bài toán thuận được nói ở trên và là chủđề sôi động trong mô hình hóa toán học và lý thuyết phương trình vi phânhơn 100 năm qua. Hai điều kiện quan trọng để mô hình hóa một quá trìnhtruyền nhiệt đó là quy luật trao đổi nhiệt trên biên và nguồn. Cả hai điềukiện này đều do tác động ở bên ngoài và không phải lúc nào cũng được biếttrước, do đó trong những trường hợp này, ta phải xác định chúng qua các đođạc gián tiếp và đó là nội dung của luận án này. Luận án gồm hai phần, phầnđầu nghiên cứu bài toán xác định quy luật trao đổi nhiệt (nói chung là phituyến) trên biên qua đo đạc trên biên và phần thứ hai nghiên cứu bài toánxác định nguồn (tạo ra quá trình truyền nhiệt hay khuếch tán) qua các quansát khác nhau. Trong phần đầu của luận án này, cụ thể trong Chương 1, chúng tôi nghiêncứu bài toán ngược xác định hàm g(·, ·) (tức quy luật trao đổi nhiệt trên biên)trong bài toán giá trị biên ban đầu  ut − ∆u = 0  trong Q, u(x, 0) = u0 (x) trong Ω, (0.6)  ∂u = g(u, f )  trên S, ∂νtừ điều kiện quan sát bổ sung u(ξ0 , t) = h(t), t ∈ [0, T ]. (0.4)Quan sát theo từng điểm (0.4) thường không có ý nghĩa khi nghiệm của (0.6)được hiểu theo nghĩa nghiệm yếu. Do đó, trong luận án chúng tôi sẽ thay thếquan sát này bởi các quan sát sau 1) Quan sát trên một phần của biên u|Σ = h(x, t), (x, t) ∈ Σ, (0.7) 1 2với Σ = Γ × (0, T ], Γ là một phần của ∂Ω có độ đo khác 0; 2) Quan sát tích phân biên Z lu := ω(x)u(x, t)dS = h(t), t ∈ (0, T ], (0.8) ∂Ω Rtrong đó ω là hàm không âm, xác định trên ∂Ω, ω ∈ L1 (∂Ω) và ∂Ω ω(x)dS > 0.Chúng tôi lưu ý rằng, nếu ta chọn hàm ω như là xấp xỉ của hàm Dirac δ thìcác quan sát (0.8) có thể coi là trung bình của quan sát (0.4). Quan sát tíchphân là lựa chọn thay thế cho quan sát đo đạc theo từng điểm (khi thiết bịđo đạc có độ dày khác 0) và bài toán ngược sẽ được giải một cách dễ dànghơn nhờ phương pháp biến phân. Ngoài ra với cách đặt bài toán như ở trên,ta chỉ cần sử cần đo đạc ở một phần của biên là có thể xác định được quyluật truyền nhiệt trên biên, đây là một điều quan trọng trong thực tế. Trongmỗi bài toán, chúng tôi trình bày một vài kết quả đã biết về bài toán thuận(0.6), sử dụng phương pháp biến phân để giải bài toán ngược và chứng minhsự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu hóa, cũng như đưa ra công thức tínhgradient của phiếm hàm cần cực tiểu hóa; phần cuối cùng trong mỗi mục,chúng tôi dành để trình bày và thảo luận về phương pháp số để giải các bàitoán trên. Phần thứ hai của luận án dành cho bài toán xác định nguồn trong quátrình truyền nhiệt. Bài toán này được nhiều nhà khoa học nghiên cứu trongvòng hơn 50 năm qua. Mặc dù có khá nhiều kết quả về tính tồn tại, duy nhấtvà đánh giá ổn định cho bài toán, nhưng do tính đặt không chỉnh và có thểphi tuyến của bài toán, nên trong thời gian gần đây đã có rất nhiều nhà toánhọc và kỹ sư đã đặt lại vấn đề nghiên cứu chúng. Cụ thể, giả sử Ω ⊂ Rn làmiền Lipschitz, giới nội với biên Γ. Ký hiệu Q := Ω × (0, T ], với T > 0 và biênS = Γ × (0, T ]. Giả sử aij , i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, b ∈ L∞ (Q), aij = aji , i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, n X λkξk2Rn ≤ aij (x, t)ξi ξj ≤ Λkξk2Rn , ∀ξ ∈ Rn , ...