TS. ĐẶNG VĂN HIẾU - BỘ MÔN CƠ HỌC phần 10

Dao động cưỡng bức có cản chịu kích động tuần hoànDao động cưỡng bức có cản nhớt của hệ tuyến tính n bậc tự do có dạng: M q + B q + C q = f (t )Giả sử f(t) tuần hoàn theo thời gian và có thể khai triển thành chuỗi Fourier một cách gần đúng:f ( t ) = a o + ∑ ( a k cos k Ω t + bk sin k Ω t ) (2)k =1
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
TS. ĐẶNG VĂN HIẾU - BỘ MÔN CƠ HỌC phần 10Dao động cưỡng bức có cản chịu kích động tuần hoànDao động cưỡng bức có cản nhớt của hệ tuyến tính nbậc tự do có dạng: M q + B q + C q = f (t ) && & (1)Giả sử f(t) tuần hoàn theo thời gian và có thể khai triểnthành chuỗi Fourier một cách gần đúng: m f ( t ) = a o + ∑ ( a k cos k Ω t + bk sin k Ω t ) (2) k =1 118Sử dụng nguyên lý cộng tác dụng để tìm nghiệm. Trước hết ta tìm nghiệm của phương trình: M qo + Bqo + C qo = ao && & = vodưới dạng: qo Cvo = aotừ hai phương trình trên ta suy ra: (3) 119 Sau đó ta tìm nghiệm của phương trình: M qk + B qk + C qk = ak cos kΩt + bk sin kΩt && & (4)Nghiệm của phương trình (4) được tìm dưới dạng: qk = uk sin kΩt + vk cos kΩtTừ nghiệm trên ta có: qk = kΩ( uk coskΩt − vk sin kΩt ) & qk = −k 2Ω2 ( uk sin kΩt + vk cos kΩt ) && 120Thế các biểu thức tìm được vào phương trình (4), rồi sosánh hệ số, ta nhận được hệ phương trình đại số tuyếntính để xác định các vectơ uk và vk: ⎡C − k 2 Ω 2 M − k Ω B ⎤ ⎡ u k ⎤ ⎡ ak ⎤ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ (5) ⎢ ⎣ k ΩB C − k Ω M ⎦ ⎣ vk ⎦ ⎣ bk ⎦ 2 2Khi định thức của ma trận hệ số của hệ phương trìnhtrên khác không, thì các vectơ uk và vk được xác địnhduy nhất.Như thế nghiệm của phương trình dao động cương bức(1) là: m q(t ) = vo + ∑ ( uk sin k Ωt + vk cosk Ωt ) (6) k =1 121b. Phương pháp ma trận dạng riêng Dao động cưỡng bức không cản. Dao động cưỡng bức có cản. 122 Dao động cưỡng bức không cảnPhương pháp ma trận dạng riêng (Modalmatrix) được ápdụng rất thuận tiện đối với hệ không cản: M q + Cq = f (t) && (1)Trong đó M và C là các ma trận thực, đối xứng.Áp dụng phép biến đổi toạ độ: q =V p (2)với V là ma trận dạng riêng, p là vectơ các toạ độ chính. 123Thay (2) vào (1) ta có: M V && + CV p = f (t ) pSuy ra: V T M V && + V T C V p = V T f (t ) (3) p V TCVCác ma trận V T M và có dạng đường chéo V = v f (t ) , i = 1 → n TNếu đưa vào ký hiệu: hi iThì phương trình (3) có thể viết dưới dạng: μ i && + γ i p = hi i =1→ n p (4) 124 Nghiệm của mỗi phương trình (4) ứng với điều kiệnđầu: pi (0) = pi 0 ; pi (0) = pi 0 & &có dạng: & pi 0 pi (t ) = pi 0 cos ω i t + sin ω i t + ωi t 1 ∫ h (τ ) sin ω (t − τ ) dτ + (5) μ iω i i i 0 γi ω= 2 Với: μi i 125 Đối với trường hợp kích động điều hoà ˆ fi (t ) = fi sin ΩtThì: ⎛n ˆ ⎞ sin Ω t = h sin Ω t hi (t ) = ⎜ ∑ vki f k ⎟ ˆ i ⎝ k =1 ⎠Phương trình dao động trong trường hợp này: ˆ μi &&i + γ i pi = hi sin Ωt i =1→ n (6) p 126Nghiệm của các phương trình (6) trong giai đoạn bìnhổn là: ˆ hi pi (t ) = s in Ω t Ω 2 γ i (1 − ) ω 2 iTrở lại toạ độ qk: ˆ n n v ki hi ∑v ∑ q k (t ) = pi = sin Ω t Ω 2 ki γ i (1 − 2 ) i =1 i =1 ωi Ta thấy khi Ω bằng tần số riêng ωi thì xảy ra hiện tượng cộng hưởng. 127 Dao động cưỡng bức có cảnPhương trình vi phân dao động cưỡng bức của hệ là: M q + B q + C q = f (t ) && & (1)Trong kỹ thuật ta hay gặp trường hợp: B =αM +δCBằng các phép biến đổi tương tự như trên ta đưa (1) vềdạng:μ i &&i + β i p i + γ i p i = hi ( t ) i = 1 → n & p (2)Phương trình này đã được nghiên cứu kỹ trong các phầntrên. 128 ...