Ứng dụng lý thuyết hàm ngẫu nhiên trong khí tượng thủy văn: Phần 2

Ứng dụng lý thuyết hàm ngẫu nhiên trong khí tượng thủy văn: Phần 2 gồm có các chương sau: Chương 5 nội ngoại suy và làm trơn hàm ngẫu nhiên; chương 6 xác định các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên; chương 7 nghiên cứu cấu trúc thống kê của các trường; chương 8 khai triển quá trình ngẫu nhiên và trường; chương 9 những ví dụ ngoại suy tuyến tính tối ưu các quá trình khí tượng thủy văn; chương 10 một số vấn đề mô tả trường tốc độ gió; chương 11 tính mật độ phổ quá trình ngẫu nhiên dừng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ứng dụng lý thuyết hàm ngẫu nhiên trong khí tượng thủy văn: Phần 2 Ch−¬ng 5 Néi ngo¹i suy vµ lµm tr¬n hµm ngÉu nhiªn5.1. §Æt bµi to¸n Ta h·y xÐt mét vµi bµi to¸n th−êng gÆp trong khÝ t−îng thuûv¨n. 1. Ngo¹i suy Gi¶ sö cã mét thÓ hiÖn x(t) cña qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn X(t) trªnkho¶ng biÕn ®æi nµo ®ã cña tham sè [a,t] x¶y ra tr−íc thêi ®iÓm t. Gi¶thiÕt r»ng ®· biÕt c¸c ®Æc tr−ng cña qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn X(t) gåm kúväng to¸n häc vµ hµm t−¬ng quan cña nã. Yªu cÇu dù b¸o gi¸ trÞx(t+T) cña thÓ hiÖn nµy t¹i thêi ®iÓm tiÕp theo t+T nµo ®ã, T>0. Ng−êita gäi ®¹i l−îng T lµ l−îng ng¾m ®ãn. Bµi to¸n nµy ®−îc gäi lµ bµi to¸n ngo¹i suy qu¸ tr×nh ngÉunhiªn. Do gi¶ thiÕt r»ng thÓ hiÖn x(t) ®−îc x¸c ®Þnh chÝnh x¸c, kh«ngcã sai sè ®o, nªn bµi to¸n nµy ®−îc gäi lµ bµi to¸n ngo¹i suy thuÇntuý. 2. Lµm tr¬n Gi¶ sö thÓ hiÖn x(t) cña qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn X(t) ®−îc x¸c ®Þnhnhê kÕt qu¶ thùc nghiÖm, trªn kho¶ng biÕn ®æi [a,t] cña tham sè t, víisai sè y(t) lµ thÓ hiÖn cña qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn Y(t), tøc lµ do thùcnghiÖm ta nhËn ®−îc thÓ hiÖn z(t) = x(t) + y(t), víi x(t) lµ gi¸ trÞ thùccña thÓ hiÖn, y(t) lµ sai sè ®o. Gi¶ thiÕt r»ng ®· biÕt c¸c ®Æc tr−ng cñac¸c qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn X(t) vµ Y(t), nh− kú väng to¸n häc, hµmt−¬ng quan vµ hµm t−¬ng quan quan hÖ. Yªu cÇu x¸c ®Þnh gi¸ trÞthùc cña thÓ hiÖn x(t) t¹i thêi ®iÓm t nµo ®ã, cã nghÜa lµ t¸ch nã rakhái sai sè ®o. Bµi to¸n nµy gäi lµ bµi to¸n lµm tr¬n (läc) qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn.Nã xuÊt hiÖn, ch¼ng h¹n, khi t¸ch c¸c tÝn hiÖu h÷u Ých trªn nÒn nhiÔutrong kü thuËt v« tuyÕn, trong ®ã ng−êi ta gäi gi¸ trÞ thùc lµ c¸c tÝnhiÖu h÷u Ých, cßn sai sè lµm mÐo tÝn hiÖu ®−îc gäi lµ nhiÔu hay ån. Trong khÝ t−îng thuû v¨n, bµi to¸n nµy n¶y sinh vÒ c¬ b¶n gièngnh− bµi to¸n lo¹i bá sai sè ®o khi chØnh lý c¸c sè liÖu thùc nghiÖm.Khi ®ã, cã sù kh¸c nhau c¬ b¶n gi÷a bµi to¸n lµm tr¬n sè liÖu thùcnghiÖm vµ bµi to¸n t¸ch tÝn hiÖu trong kü thuËt v« tuyÕn. Trong küthuËt v« tuyÕn, vµ nãi chung, trong lý thuyÕt hÖ ®iÒu khiÓn tù ®éng,ng−êi ta gi¶ thiÕt r»ng, nÕu tÝn hiÖu ®i qua mét thiÕt bÞ ®−îc sö dông®Ó lµm tr¬n tÝn hiÖu th× ë thêi ®iÓm t nµo ®ã, chØ cã nh÷ng gi¸ trÞ cñatÝn hiÖu tr−íc thêi ®iÓm nµy ®i qua, mµ kh«ng thÓ tÝnh ®Õn nh÷ng gi¸trÞ vÒ sau cña nã. VÊn ®Ò ë chç c¸i gäi lµ nguyªn lý “nh©n qu¶” vÒ mÆtvËt lý cña hÖ. Khi ®ã, ®Ó nhËn ®−îc gi¸ trÞ x(t) ph¶i tiÕn hµnh lµmtr¬n thÓ hiÖn z(t) trªn kho¶ng [a,t] nµo ®ã x¶y ra tr−íc thêi ®iÓm nµy. Khi lµm tr¬n c¸c sè liÖu thùc nghiÖm b»ng c¸ch tiÕn hµnh tÝnhto¸n thuÇn tuý, kh«ng sö dông c¸c thiÕt bÞ vËt lý, chóng ta sÏ kh«ngbÞ phô thuéc vµo c¸c ®iÒu kiÖn nµy vµ cã thÓ sö dông tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞcña thÓ hiÖn z(t) ®· cã ®Ó lµm tr¬n, tøc lµ gi¸ trÞ cÇn t×m x(t) t¹i thêi®iÓm t cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c¸ch lµm tr¬n c¸c gi¸ trÞ cña thÓhiÖn z(t) trªn toµn ®o¹n [a,b]. 3. Ngo¹i suy cã lµm tr¬n Bµi to¸n ngo¹i suy g¾n liÒn chÆt chÏ víi viÖc lµm tr¬n v× trªnthùc tÕ, ta lu«n lu«n nhËn ®−îc thÓ hiÖn cña qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn mµta quan t©m cã chøa c¶ sai sè ®o trong ®ã. Khi ®ã, bµi to¸n ngo¹i suyqu¸ tr×nh ngÉu nhiªn lµ ë chç víi thÓ hiÖn ®· cã trªn ®o¹n [a,t] z(t) = x(t) + y(t)ph¶i dù b¸o ®−îc gi¸ trÞ cña thÓ hiÖn x(t) t¹i thêi ®iÓm t + T, T > 0 .Bµi to¸n nµy ®−îc gäi lµ bµi to¸n ngo¹i suy cã lµm tr¬n. Khi T < 0 th×bµi to¸n gäi lµ néi suy cã lµm tr¬n. Trªn thùc tÕ, bµi to¸n néi suy th−êng xuÊt hiÖn trong c¸c tr−ênghîp gi¸ trÞ thùc nghiÖm cña thÓ hiÖn z(t) cña qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn®−îc cho thµnh mét chuçi nh÷ng gi¸ trÞ rêi r¹c cña ®èi sèt1 , t2 ,..., tn trong kho¶ng [a,b] nµo ®ã, vµ yªu cÇu x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cñathÓ hiÖn x(t) t¹i c¸c thêi ®iÓm trong kho¶ng nµy. Khi kh«ng cã sai sè148®o y(t) , nã ®−îc gäi lµ bµi to¸n néi suy thuÇn tuý, khi cã sai sè ®o th×®ã lµ bµi to¸n néi suy cã lµm tr¬n. Khi néi suy c¸c sè liÖu thùc nghiÖm b»ng c¸ch tiÕn hµnh tÝnhto¸n thuÇn tuý, ta còng cã thÓ sö dông tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ ®· cho cñathÓ hiÖn z(t) , c¶ tr−íc vµ sau thêi ®iÓm t. Cã thÓ xÐt c¸c bµi to¸n néi, ngo¹i suy vµ lµm tr¬n nh− mét bµito¸n chung, x¸c ®Þnh gi¸ trÞ thùc cña thÓ hiÖn x(t) t¹i gi¸ trÞ tham sèto nµo ®ã theo c¸c gi¸ trÞ ®· biÕt cña thÓ hiÖn z(t) = x(t) + y(t) trªnkho¶ng [a,b] nµo ®ã. Ph¸t biÓu to¸n häc cña bµi to¸n ngo¹i suy (néi suy) vµ lµm tr¬nnh− sau. Cho biÕt thÓ hiÖn z(t) = x(t) + y(t) (5.1.1)trªn kho¶ng biÕn ®æi cña tham sè [a,b] nµo ®ã, x(t ) vµ y (t ) lµ thÓ hiÖncña c¸c qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn X (t ) vµ Y (t ) cã c¸c kú väng to¸n häc,hµm t−¬ng quan, hµm t−¬ng quan quan hÖ cho tr−íc. Ta sÏ cho r»ng,kú väng to¸n häc mx (t ) vµ m y (t ) b»ng 0. (Trong tr−êng hîp ng−îc l¹ita sÏ xÐt c¸c qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn qui t©m t−¬ng øng). Yªu cÇu x¸c ®Þnh gi¸ trÞ x(to ) cu¶ thÓ hiÖn x(t ) t¹i thêi ®iÓm t0.§èi víi tr−êng hîp ngo¹i suy to = b + T , víi T > 0 . T−¬n ...