Về bài hình học thi VMO 2015

Bài viết "Về bài hình học thi VMO 2015" sẽ xoay quanh khai thác bài hình học thi quốc gia Việt Nam ngày đầu tiên. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Về bài hình học thi VMO 2015Tạp chí online của cộng đồng những người yêu Toán VỀ BÀI HÌNH HỌC THI VMO 2015 Trần Quang Hùng (Trường THPT Chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội) Tóm tắt Bài viết sẽ xoay quanh khai thác bài hình học thi quốc gia Việt Nam ngày đầu tiên. Kỳ thi học sinh giỏi quốc gia Việt Nam năm 2015 có bài toán hình học như sau: Bài toán 1. Cho đường tròn (O) và hai điểm B, C cố định trên (O) với BC không là đường kính. Một điểm A thay đổi trên (O) sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ B, C của tam giác ABC. (I) là đường tròn thay đổi đi qua các điểm E, F và có tâm là I. q DB cot B a) Giả sử (I) tiếp xúc BC tại D. Chứng minh rằng DC = cot C . b) Giả sử (I) cắt cạnh BC tại M, N. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và P, Q là giao điểm của (I) với đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC. Đường tròn (K) đi qua P, Q tiếp xúc (O) tại T với T , A cùng phía BC. Chứng minh rằng phân giác trong của góc ∠MT N luôn đi qua điểm cố định. Nhận xét. Đây là bài toán ở vị trí số 4 là bài được đánh giá là khó. Hai ý của bài toán không liên quan nhiều tới nhau, chúng tôi sẽ giải và phân tích từng ý. Với ý b) của bài toán thực chất các yếu tố về trực tâm và chân đường cao là không cần thiết. Chúng tôi xin đưa ra một bài toán tổng quát hơn và thực ra về mặt cấu hình sẽ đơn giản hơn đồng thời phát biểu lại cho thấy ý nghĩa thực của nó. Bài toán 2. Cho BC là dây cung của đường tròn (O). Đường tròn (K) bất kỳ qua B, C. P, Q là hai điểm thuộc (K) và ở trong (O). Đường tròn (L) qua P, Q tiếp xúc trong (O) tại A sao cho A, K khác phía BC. Đường tròn (S) qua P, Q cắt BC tại M, N. Chứng minh rằng ∠BAM = ∠CAN. 47 Lời giải. Theo tính chất tâm đẳng phương dễ thấy tiếp tuyến chung tại A của (O) và (L), PQ và BC đồng quy tại T .Tạp chí online của cộng đồng những người yêu Toán A L O Q P S C T B M N K Từ đó dễ có T A2 = T P.T Q = T M.T N. Từ đó dễ suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cũng tiếp xúc (O). Từ đây, ta dễ dàng suy ra ∠BAM = ∠CAN (điều phải chứng minh). Nhận xét. Bài toán là áp dụng trực tiếp của các tính chất về phương tích và trục đẳng phương. Bài toán có thể thay thế điều kiện tiếp xúc thành cắt nhau như sau Bài toán 3. Cho XY là dây cung của đường tròn (O). Đường tròn (K) bất kỳ qua X, Y. Đường tròn (L) cắt (O) tại Z, T và cắt (K) tại P, Q. Đường tròn (S) qua P, Q cắt BC tại M, N. Chứng minh rằng ∠XZM = ∠YT N. 48 ...