Ánh xạ

Hai ptử sinh bất kì của cùng một nhóm xyclic đều có cùng cấp. Cấp của mọi nhóm xyclic bằng cấp của mọi ptử sinh của nó. Hai nhóm xyclic đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng cấp)
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ánh xạ ÁNH XẠAnh xạ A⊂X , B⊂Y f: X Y x f(x)f: ánh xạ ⇔ ( x1 = x 2 ⇒ f(x1 ) = f(x 2 ) )f(A) = ⎨y∈Y ⎪ ∃ a∈A : f(a) = y⎬ (ảnh)f–1(B) = ⎨x∈X ⎪ f(x)∈B⎬ ( tạo ảnh) ⎡ f(x1 ) = f(x 2 ) ⇒ x1 = x 2f: đơn ánh ⇔ ⎢ ⎣ x1 ≠ x 2 ⇒ f(x1 ) ≠ f(x 2 )f: toàn ánh ⇔ ∀y∈Y, ∃ x∈X : f(x) = yf: song ánh ⇔ ∀y∈Y, ∃! x∈X : f(x) = y∃f–1 ⇔ f: song ánh QUAN HỆ TRÊN TẬP HỢPQuan hệ tương đương ∀x∈X, x x (phản xạ) ∀x,y∈X, x y ⇒ y x (đối xứng) ∀x,y,z∈X, x y và y z ⇒ x z (bắc cầu)Quan hệ thứ tự ∀x∈X, x ≤ x (phản xạ) ∀x,y∈X, x ≤ y và y ≤ x ⇒ y = x (phản đối xứng) ∀x,y,z∈X, x ≤ y và y ≤ z ⇒ x z (bắc cầu)Lớp tương đương: C(a) = [a] = ⎨x∈X ⎪ a x ⎬ NHÓM(X, ) – nửa nhóm ⇔ ∀x, y, z ∈ X: (x.y).z = x.(y.z) ⎧∀x, y,z ∈ X : (x.y).z = x.(y.z)(X, ) – vị nhóm ⇔ ⎨ ⎩∃e ∈ X : ∀x ∈ X, x.e = e.x = x ⎧∀x, y,z ∈ X : (x.y).z = x.(y.z) ⎪(X, ) – nhóm ⇔ ⎨∃e ∈ X : ∀x ∈ X, x.e = e.x = x ⎪∀x ∈ X, ∃x ∈ X : x.x = x .x = e ⎩ ⎧ X ≠ ∅, (X, o) − nöûa nhoùm ⎪ ⇔ ⎨∃e ∈ X : ∀x ∈ X, e.x = x ⎪ ⎩∀x ∈ X, ∃x ∈ X : x .x = e ⎧ X ≠ ∅, (X, o) − nöûa nhoùm ⇔⎨ ⎩∀a, b ∈ X : pt ax = b vaø ya = b coù nghieäm trong X ⎧∀x, y,z ∈ X : (x.y).z = x.(y.z) ⎪∃e ∈ X : ∀x ∈ X, x.e = e.x = x ⎪(X, ) – nhóm ebel ⇔ ⎨ ⎪∀x ∈ X, ∃x ∈ X : x.x = x .x = e ⎪∀x, y ∈ X, x.y = y.x ⎩ ⎧e, x cuûa x laø duy nhaát ⎪ ⎪∀x, y,z ∈ X, xy = xz (yx = zx) ⇒ y = z(X, ) − nhoùm ⇒ ⎨ ⎪∀x, y ∈ X : (xy) = y .x −1 −1 −1 ⎪∀m, n ∈ : (an )−1 = (a−1 )n , an .am = am + n , (an )m = am.n ⎩Nhóm con A của nhóm X (A X)(A,+) ổn định ⇔ ∀x,y ∈ A ⇒ x + y ∈ A ⎧ A ≠ ∅, A ⊂ X ⎪A X ⇔ ⎨∀x, y ∈ A, xy ∈ A ⎫ ⎬ ⇔ ∀x, y ∈ A, xy ∈ A −1 ⎪∀x ∈ A, x −1 ∈ A ⎭ ⎩Nhóm con sinh bởi A, nhóm con xyclic sinh bởi aCho (X, ) – nhóm, A ≠ , A ⊂ X. Ta nói nhóm con của X sinh bởiA, k/h 〈A〉, nếu A = I Xi , Xi „ X, A ⊂ Xi ∀i(Nhóm con sinh bởi A là nhóm con nhỏ nhất chứa A) Nếu A = {a} thì ta nói nhóm con xyclic của X sinh bởi a,k/h 〈a〉, a đgl phần tử sinh của X. Nếu ∃ a∈X: 〈a〉 = X thì X đgl nhóm xyclic Nếu ∃A⊂X: 〈A〉 = X thì A đgl tập sinh của X.Lớp kề của A trong X { }A ≤ X, ∀x ∈ X: xA = y ∈ X x −1y ∈ A = {xa a ∈ A} (lớp kề trái) { } Ax = y ∈ X yx −1 ∈ A = {ax a ∈ A} (lớp kề phải)Lưu ý: xA = yA ⇔ x–1y ∈ ANhóm con chuẩn tắc A của nhóm X (A ⊲ X) ⎧ A ≠ ∅, A ⊂ X ⎪A ⊲ X ⇔ ⎨∀a, b ∈ A, ab −1 ∈ A ⎪∀x ∈ X, ∀a ∈ A, x −1ax ∈ A ⎩ ⎧ A ≠ ∅, A ⊂ X ⎪ ⇔ ⎨∀a, b ∈ A, ab −1 ∈ A ⎪∀x ∈ X, xA = Ax ⎩Lưu ý: Trong 1 nhóm abel, mọi nhóm con đều chuẩn tắc.Nhóm thương của X trên ANếu A ⊲ X thì X = {xA x ∈ X} với xA.yA = xyA đgl nhóm Athương của X trên A.Nhóm xyclic(X, ) – nhóm xyclic ⇔ ∃a∈X: x = am, ∀x∈X, m∈Ζ (a–phần tửsinh) a = {a k : k ∈ }Cấp của nhóm, phần tử của nhómCấp của nhóm X, kí hiệu X , là số phần tử của X.Cấp của Neáu am ≠ e, ∀m > 0 thì a coù caáp voâ haïna ∈X Neáu am = e, m min ∈ * thì m ñgl caáp cuûa a. K/h: ord(a)ĐL Lagrange: (X, ) – nhóm hữu hạn, A ≤ X ⇒ X = A . X ALưu ý: Hai ptử sinh bất kì của cùng một nhóm xyclic đều có cùngcấp. Cấp của mọi nhóm xyclic bằng cấp của mọi ptử sinh của nó.Hai nhóm xyclic đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùngcấp)Tâm của nhóm X ( Z(X) ) Z(X) = ⎨a∈X ⎪ ax = xa, ∀x∈X⎬Lưu ý: X abel ⇔ X = Z(X) Z(X) là nhóm con abel của X ĐỒNG CẤUĐồng cấu nhómX, Y là nhóm, f : X ⎯ax → Y ⎯ f đgl đồng cấu nhóm ⇔ f(ab) = f(a).f(b) ∀a,b ∈X ñôn aùnh ñgl ñôn caáu (pheùp nhuùng)Ñoàng caáu & toaøn aùnh ñgl toaøn caáu song aùnh ñgl ñaúng caáuHạt nhân và ảnh của đồng cấu nhóm Kerf = {x ∈ X f(x) = e Y } = f −1 (e Y ) Im f = {f(x) x ∈ X} = f(X)Tính chất của đồng cấu nhóm ⎧f(e X ) = eY ⎪a ) ⎨ −1 ⎪f(x ) = [ f(x)] −1 ⎩ ⎧f ñôn caáu ⇔ Kerf = {e X } ⎪b) ⎨ f toaøn caáu ⇔ Im f = Y ⎪f ñaúng caáu ⇒ f −1 ñaúng caáu ⎩ ⎧Kerf < X, Im f „ Y ⎪c) ⎨A „ X ⇒ f(A) „ Y ⎪B < X, f −1 (B) < X ⎩Định lí cơ bản của đồng cấu nhóm Cho f : X ⎯ñoàng caáu nhoùm → Y ⎯⎯⎯⎯ h : X ⎯⎯⎯⎯ X toaøn caáu → Kerf chính taéc x |⎯⎯⎯→ x = xKerfKhi đó: 1) ∃! g : X ñôn caáu ⎯⎯⎯→ Y s / c g o h = f Kerf( ) vôùi X , A = Kerf thì g ñôn caáu A 2) Img = ImfĐặc biệt:Nếu g : X ⎯⎯ Im f thì g đẳng cấu. Khi đó: X ≅ Im f → Kerf KerfNếu f : X ⎯⎯ Y là toàn cấu thì X ≅Y → KerfLưu ý: Để cm X ≅ Y , ta cm các bước sau: A f : X ⎯⎯ Y là ánh xạ → B1: B2: f là toàn cấu B3: Kerf = AĐịnh ...