Bài 10. Không gian vectơ

Nhằm giúp sinh viênnắm được các kiến thức về véc tơ, các phép toán về véc tơ trong không gian. Nắm được một số ví dụ về giải bài toán bằng phương pháp véc tơ trong không gian Thông qua bài giảng rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải các bài toán về véc tơ trong không gian, khả năng tư duy lô gíc, tư duy toán học dựa trên cơ sở các kiến thức về véc tơ và các phép toán véc tơ trong không gian.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài 10. Không gian vectơ Đ I S CƠ B N (ÔN THI TH C SĨ TOÁN H C) Bài 10. Không gian vectơ PGS TS M Vinh Quang Ngày 18 tháng 3 năm 20051 Các khái ni m cơ b n1.1 Đ nh nghĩa không gian vectơ(m i ph n t c a V g i là m t vectơ) n u trong V có 2 phép toán: .v n Ký hi u R là t p các s th c, V là t p tùy ý khác ∅. V g i là không gian vectơ (trên R) α+β ∈V. 4 h • Phép c ng 2 vectơ, t c là v i m i c p vectơ α, β ∈ V xác đ nh đư c m t vectơ t ng c 2 • Phép nhân vô hư ng m t s v i m t vectơ, t c là v i m i a ∈ R và vectơ α ∈ V xác đ nh đư c m t vectơ tích aα ∈ V . o ih Ngoài ra, phép c ng và phép nhân trên ph i th a mãn 8 đi u ki n sau: u 1. Phép c ng k t h p; v i m i α, β, γ ∈ V : V (α + β) + γ = α + (β + γ) 2. Phép c ng giao hoán, v i m i α, β ∈ V : α+β =β+α 3. Phép c ng có vectơ-không, t n t i vectơ O ∈ V (vectơ-không) có tính ch t: α+O =O+α=α v i m i α∈V 4. Có vectơ đ i, v i m i vectơ α ∈ V , t n t i vectơ −α ∈ V (vectơ đ i c a α) có tính ch t: α + (−α) = (−α) + α = O 5. Phép nhân phân ph i v i phép c ng, v i m i a ∈ R và các vectơ α, β ∈ V : a(α + β) = aα + aβ 6. Phép nhân phân ph i v i phép c ng, v i m i s th c a, b ∈ R, m i vectơ α ∈ V : (a + b)α = aα + bα 7. Phép nhân k t h p. V i m i a, b ∈ R, v i m i vectơ α ∈ V : (ab)α = a(bα) 1 8. 1.α = α v i m i vectơ α ∈ V Như v y, đ ki m tra t p h p V cùng v i 2 phép toán c ng và nhân vô hư ng có ph i làkhông gian vectơ hay không, ta ph i ki m tra xem chúng có th a mãn 8 đi u ki n trên haykhông. B n đ c có th d dàng t ki m tra các ví d sau.1.2 Các ví d v không gian vectơ 1. V = Rn = {(a1 , a2 , . . . , an )|ai ∈ R} v i: - Phép c ng: α = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn , β = (b1 , . . . , bn ) ∈ Rn : α + β = (a1 + b1 , . . . , an + bn ) ∈ Rn - Phép nhân vô hư ng: v i m i a ∈ R, a.α = a(a1 , . . . , an ) = (aa1 , . . . , aan ) thì V là m t không gian vectơ. 2. V = Mm×n (R) - t p các ma tr n c p m × n v i h s th c - v i phép c ng là phép c ng 2 ma tr n, phép nhân vô hư ng là phép nhân m t s th c v i m t ma tr n, là m t không gian vectơ. vô hư ng là phép nhân m t s v i m t đa th c, là không gian vectơ. .v n 3. R[x] - t p các đa th c v i h s th c - v i phép c ng là phép c ng hai đa th c, phép nhân h 4. R+ là t p các s th c dương. Trong R+ ta đ nh nghĩa phép c ng và phép nhân vô hư ng. - Phép c ng: v i m i α, β ∈ R+ , α ⊕ β = αβ 24 - Phép nhân vô hư ng: v i m i a ∈ R, α ∈ R+ : a ∗ α = αa c Khi đó, (R+ , ⊕, ∗) là m t không gian vectơ v i vectơ-không là 1, vectơ đ i c a vectơ α là vectơ 1 α ih o1.3 V u Các tính ch t cơ b n 1. Vectơ O và vectơ đ i (−α) là duy nh t. 2. Phép c ng có lu t gi n ư c: v i m i α, β, γ ∈ V , n u α + β = α + γ thì β = γ 3. 0.α = O, v i m i α ∈ V , a.O = O, v i m i a ∈ R, (−1).α = −α v i m i α ∈ V 4. N u a.α = O thì a = 0 ho c α = O 5. N u α = O thì aα = bα ⇔ a = b 6. (−a)α = a(−α) = −(aα) v i m i a ∈ R, α ∈ V 22 Đ c l p tuy n tính, ph thu c tuy n tính2.1 Các khái ni m cơ b n Cho V là không gian vectơ, α1 , . . . , αn là m t h vectơ c a V . • H vectơ α1 , α2 , . . . , αn g i là h vectơ ph thu c tuy n tính (PTTT) n u t n t i các s th c a1 , a2 , . . . , an không đ ng th i b ng 0 sao cho a1 α1 + · · · + an αn = O t c là phương trình vectơ x1 α1 + · · · + xn αn = O có nghi m khác (0, . . . , 0) • H vectơ α1 , α2 , . . . , αn g i là h vectơ đ c l p tuy n tính (ĐLTT) n u nó không ph thu c tuy n tính, nói cách khác h α1 , α2 , . . . , αn ĐLTT khi và ch khi: n u a1 α1 +· · ·+an αn = O v i ai ∈ R thì ai = 0 v i m i i, t c là phương trình vectơ x1 α1 + · · · + xn αn = O có nghi m duy nh t là (0, . . . , 0) Ví d . Trong R4 cho h vectơ α1 = (1, 0, 1, 1), α2 = (0, 1, 2, 3), α3 = (1, 2, 3, 4). H trênĐLTT hay PTTT? Gi i. Xét h phương trình vectơ n x1 α1 + x2 α2 + x3 α3 = O   x1 + x3 = 0 .v  x2 + 2x3 = 0  ⇔ h  x1 + 2x2 + 3x3 = 0  4 x1 + 3x2 + 3x3 = 0    1 0 1 Ma tr n các h s c a h trên là A =  o c 2  0 1 2   1 2 3  1 3 4  ih D th y rank A = 3 nên h trên có nghi m duy nh t (0, 0, 0). V y h vectơ trên đ c l ptuy n tính. u Nh n xét. Đ xét h m vectơ α1 , α2 , . . . , αm ĐLTT hay PTTT trong Rn , t ...