Bài 14 Chuỗi lũy thừa

thừa, hệ số .ýợc gọi là hệ số tổng quát của chuỗi. Ta gọi số hạng tổng quát của chuỗi lũy thừa. Nếu thực hiện phép .ổi biến dạng dạng
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài 14 Chuỗi lũy thừa GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 Bài 14 Chuỗi lũy thừa V.CHUỖI LŨY THỪA 1.Ðịnh nghĩaTa gọi chuỗi hàm có dạnglà chuỗi lũy thừa. Các hằng số ðýợc gọi là các hệ số của chuỗi lũythừa, hệ số ðýợc gọi là hệ số tổng quát của chuỗi. Ta gọisố hạng tổng quát của chuỗi lũy thừa. .v n làNếu thực hiện phép ðổi biến 4 h thì chuỗi lũy thừa trên trở thành chuỗi códạng o c2 . Do ðó trong các mục tiếp theo dýới ðây ta chỉ chuỗi lũy thừa có ihdạng Ví dụ: V u (*). 1) Chuỗi lũy thừacó hệ số tổng quát là . 2) Chuỗi lũy thừa Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1có hệ số tổng quát là . Bằng cách ðổi biến X = x+2, chuỗi lũy thừaðýợc chuyển về dạng . 2. Bán kính hội tụ và miền hội tụMột trong những vấn ðề ðýợc xem xét ðối với chuỗi lũy thừa là tìm miền hội tụ. Chochuỗi lũy thừa (*). .v nTrýớc hết có thể thấy rằng chuỗi (*) hội tụ tại x = 0. Ðịnh lý sau ðây là một trongnhững kết quả quan trọng liên quan ðến vấn ðề tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa. Ðịnh lý: (Abel) 4 h Nếu chuỗi lũy thừa c2 hội tụ tại o thì chuỗi cũng hội tụ tuyệt ðối tại ihmọi x  . V u Nếu chuỗi lũy thừa . phân kỳ tại thì chuỗi cũng phân kỳ tại mọi x  Chứng minh:Giả sử chuỗi lũy thừa hội tụ tại , nghĩa là chuỗi số hộitụ. Khi ðó có số dýõng M sao cho  M với mọi số tự nhiên n. Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1Cho một số thực x  . Ta có: với 0  < 1.Chuỗi hình học hội tụ do q < 1, nên chuỗi hội tụ tuyệt ðối.Tóm lại ta có chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt ðối trên . Phần (i)của ðịnh lý ðýợc chứng minh. .v nBây giờ giả sử chuỗi lũy thừa 4 h phân kỳ tại , nghĩa là chuỗi số phân kỳ. Nếu có số thực x  o c2 mà chuỗi hội tụ uihthì theo phần chứng minh ở trên ta có chuỗichuỗi phân kỳ tại mọi x  hội tụ (mâu thuẩn). Vậy . Phần (ii) của ðịnh lý ðýợc chứng minh. V Từ ðịnh lý Abel ta có một số nhận xét về dạng của miền hội tụ của chuỗi lũy thừa nhý sau. Trýớc hết chuỗi hội tụ tại x = 0 với tổng bp sau ðây: Trýờng hợp 1: Chuỗi chỉ hội tụ tại x = 0. Trýờng hợp 2: Chuỗi hội tụ trên toàn trục số. Trýờng hợp 3: Chuỗi có ðiểm hội tụ và có ðiểm phân kỳ . Tấtnhiên là theo ðịnh lý Abel. Vậy miền hội tụ D của chuỗi lũy thừa phảithỏa D  nên bị chặn. Do tính ðầy ðủ của tập số thực D có cận trên Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1ðúng R. Có thể thấy rằng nếu > R thì chuỗi phân kỳ tại x, và nếu x  (-R, R) thìchuỗi hội tụ tại x. Ðịnh nghĩa: (bán kính hội tụ)Cho chuỗi lũy thừa . Nếu tồn tại số dýõng R sao cho chuỗi lũy thừa hội tụtại mọi x mà < R và chuỗi phân kỳ tại mọi x mà > R, thì R ðýợc gọi là bánkính ội tụ của chuỗi lũy thừa. Trýờng hợp chuỗi chỉ hội tụ tại x = 0 ta nói bán kính hộitụ của chuỗi lũy thừa là R = 0; nếu chuỗi hội tụ trên toàn trục số thì ta nói bán kínhhội tụ là R = + . Theo ðịnh nghĩa trên ta có các trýờng hợp về miền hội tụ của chuỗi lũy thừa nhýsau: Nếu bán kính hội tụ R là một số thực dýõng thì miền hội tụ D của chuỗi lũy thừa là nmột trong 4 trýờng hợp sau: .v1) D = (-R, R) khi chuỗi không hội tụ tại  R.2) D = [-R, R] khi chuỗi hội tụ tại  R. 4 h3) D = [-R, R) khi chuỗi hội tụ tại -R nhýng không hội tụ tại R.4) D = (-R, R] khi chuỗi hội tụ tại R nhýng không hội tụ tại -R. o c2 Nếu R = 0 thì miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là D =  0 . Nếu R = + thì miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là D = R. uih Vậy việc tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là býớc rất quan trọng cho việc tìmmiền hội tụ của chuỗi lũy thừa. Ta có thể tính bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa dựa Vtheo ðịnh lý dýới ðây. Ðịnh lý: (Tìm bán kính hội tụ)Cho chuỗi lũy thừa . Giả sử hay = .Khi ðó bán kính hội tụ R của chuỗi lũy thừa là R= nếu là số thực dýõng; R = 0 nếu = + ; R = + nếu = 0. Ví dụ: ...