Bài giảng Các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi

Khi vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, trong vật thể xuất hiện nội lực để chống lại sự biến dạng đó. Bài giảng được trình bày khoa học, súc tích giúp các bạn sinh viên tiếp thu bài học nhanh.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi Chương 1. Các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi1.1. Ứng suất và phương trình cân bằng1.1.1. Khái niệm về nội lực, ứng suất, trạng thái ứng suất Khi vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, trong vật thể xuất hiện nội lực để chống lại sự biến dạng đó.Nội lực: Lượng thay đổi lực tương tác giữa các phần tử vật chất của vật thể khi vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực. Biểu diễn nội lực trên một mặt cắt bất kỳ thuộc vật thể, và là lực phân bố bề mặt. Có thể hiểu rằng ứng suất là cường độ nộilực và ứng suất tại một điểm là cường độ nội lực tại điểm đang xét. Như vậy ứng suất toàn phần tại một điểm K(x, y, z) trên mộtmặt cắt có vec tơ pháp tuyến n được định nghĩa bởi:     P p n  lim (1.1) A0 A Hình 1.1. Phương pháp mặt cắt xác định nội lực Ứng suất toàn phần phân tích thành ứng suất pháp và ứng suất tiếp Qui ước chiều dương của ứng suất khi:  Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều dương của một trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều dương của các trục tương ứng  Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều âm của một trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm của các trục tương ứng Tập hợp tất cả các thành phần ứng suất trên tất cả các mặt đi qua điểm đang xét gọi là trạng thái ứng suất tại điểm đó. Để nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm, ta tách ra phân tố lập phương vô cùng bé chứa điểm đó, biểu diễn cácthành phần ứng suất trên các mặtt của phân tố (hình 1.2.) Chín thành phần ứng suất trên ba mặt vuông góc với ba trục lập thành ten xơ ứng suất – đặc trưng cho trạng thái ứng suấttại một điểm.  xx  xy  xz    T   yx  yy  yz  (1.2)  zx  zy  zz    Hình 1.2. Các thành phần ứng suất trên các mặt của phân tố1.1.2. Phương trình cân bằngCho vật thể có thể tích V, diện tích bề mặt S chịu tác dụng của ngoại lực gồm:  Lực bề mặt (là lực phân bố trên diện tích) có cường độ F * với hình chiếu lên 3 trục toạ độ x, y, z : F * ( Fx* , Fy* , Fz* )  Lực thể tích là những lực phân bố trong thể tích vật thể, có cường độ f với hình chiếu lên 3 trục tọa độ x, y, z là Fx , Fy , Fz . Hifnh 1.3. Lực thể tích và lực bề mặt tác dụng lên vật thể Khi vật thể ở trạng thái cân bằng  Các phân tố thoả mãn điều kiện cân bằng => Phương trình cân bằng Navier-Cauchy:  xx  yx  zx  d 2u     Fx  0   2  x y z  dt   xy  yy  zy  d2v     Fy  0   2  (1.3) x y z  dt   zx  zy  zz  d2w     Fz  0   2  x y z  dt  Trong trường hợp cân bằng động thì vế phải trong (1.3) là lực quán tính (trong ngoặc -  là khối lượng riêng)1.2. Lý thuyết về biến dạng và chuyển vị Dưới tác dụng của ngoại lực, vật rắn thay đổi hình dạng kích thước – vật rắn biến dạng. Ví dụ thanh công – xôn bị biếndạng dưới tác dụng của ngoại lực như hình vẽ 1.1. Quan sát lưới trên bề mặt thanh có thể nhận thấy mỗi phân tố vừa có biến dạngdài, vừa có biến dạng góc. Một vật thể bị biến dạng thì khoảng cách tương đối giữ hai điểm bất kỳ trong vật thể thay đổi. Hình 1.4. Biến dạng của thanh công – xôn1.2.1. Chuyển vị Sự thay đổi vị trí của điểm vật chất trong vật thể biến dạng gọi là chuyển vị. Xét vật thể hình dạng bất kỳ, trước biến dạng hai điểm vật chất P và P0 lân cận nhau xác định bởi vec tơ r như hình 1.2, sau   0  biến dạng hai điểm này có vị trí mới P’ và P0’ xác định bởi vec tơ r’. Như vậy P0 P0  u là chuyển vị của điểm P0 và PP  u làchuyển vị của điểm P. Theo lý thuyết biến dạng hữu hạn hay biến dạng lớn, có hai cách mô tả các chuyển vị này ...