Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2.2 - TS. Nguyễn Hải Sơn

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2.2 Định Thức cung cấp cho người học các kiến thức: Tính chất của định thức; Tính định thức bằng biến đổi sơ cấp; một số bài tập áp dụng. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2.2 - TS. Nguyễn Hải Sơn a b  ad  bcBÀI 2 c d 1 §2: Định Thức 2.1 Mở đầu ax  by  c- Xét hệ phương trình sau:  a x  b y  c Theo phương pháp Grame ta có công thức nghiệm sau: D Dy “Định thức” cấp 2 x x ;y , ( D  0) D D a b c b a c D ; Dx  ; Dy   ac  a c a b c b a c 2 §2: Định ThứcXét hệ phương trình sau: a11 x  a12 y  a13 z  b1  a21 x  a22 y  a23 z  b2 a x  a y  a z  b  31 32 33 3 a11 a12 a13Ta có thể định nghĩa: D  a21 a22 a23  ? a31 a32 a33 3 §2: Định Thức b1 a12 a13 a11 b1 a13Dx  b2 a22 a23  ? Dy  a21 b2 a23  ? b3 a32 a33 a31 b3 a33 a11 a12 b1 Dx Dy x ; y ;Dz  a21 a22 b2  ? D D Dz a31 a32 b3 z , ( D  0) D 4 §2: Định Thức Định thức cấp 2: a11 a12 D2   a11a22  a12 a21. a21 a22 Ví dụ: 2 3  2.6  5.3  3. 5 6 5  §2: Định Thức  Định thức cấp 3: (Quy tắc hình sao) a11 a12 a13D3  a21 a22 a23  (a11a22 a33  a31a12 a23  a13a32 a21 ) a31 a32 a33 (a13a22 a31  a33a21a12  a11a32 a23 ) 6 §2: Định Thức Ví dụ: Tính 2 1 5 1 4 0 3 6 2 7 §2: Định Thức Bài tập: Tính 2 4 1 3 5 6  0 2 3 3 1 2 3 4 0 1 2 5 8 §2: Định Thức Bài tập: Tính 3 1 4 5 2 0 6 1 7 9 §2: Định Thức2.2 Định nghĩa2.2.1 Đ/n1: Cho ma trận A=[aij ] vuông cấp n. Phần phụ đại số của aij, kí hiệu là Aij , được xác định như sau A ij  (1)i  j det M ij trong đó Mij là ma trận có được từ ma trận A bằng cách bỏ đi hàng i, cột j. 10 §2: Định Thức Ví dụ: Cho ma trận  1 4  3  A 5 2 1    3 6 0  A11  (1)11 det( M 11 )   6 5 1 A12  ( 1)1 2 det( M 12 )  (  1) 3  3 3 0 5 2 A13  ( 1)13 det( M 13 )  (  1) 4  36 3 6 11 §2: Định Thức Bài tập: Với  1 4  3  A 5 2 1    3 6 0  Tính A21  A23  A33  12 §2: Định Thức2.2.2 Đ/n 2.Cho ma trận vuông cấp n A  [aij ]Định thức của A là một số được kí hiệu là detA,hay a a ... a 11 12 1n a21 a22 ... a2 n A ... ... ... ... an1 an 2 ... ann được xác định quy nạp theo n như sau: Nếu n=1 thì |[a11 ]| = a11. 13 §2: Định Thức Nếu n=1 thì |[a11 ]| = a11. Nếu n>1 thì  a11 a12  a1n A   A  a11 A11  a12 A12    a1n A1n  * (khai triển theo hàng 1) - Định thức của ma trận vuông cấp n gọi là định thức cấp n. 14 §2: Định Thức Ví dụ: Tính định thức sau: 1 4 3 5 2 1 3 6 0 15 §2: Định Thức2.3. TÝnh chÊt cña ®Þnh thøc(i) detAt = detA.Hq : Một mệnh đề về định thức nếu đã đúng cho hàng thì cũng đúng với cột và ngược lại. Do đó, trong các tính chất sau đây ta chỉ phát biểu cho “hàng”. VÝ dô: 1 4 7 1 2 3 2 5 84 5 6 3 6 9 7 8 9 16 §2: Định Thức(ii) Nếu đổi chỗ hai hàng bất kì của định thức thì định thức đổi dấu  VÝ dô: a b c x y z h1 h 3 * * *   * * *. x y z a b c 17 §2: Định ThứcHq. Khi tính định thức ta có thể khai triển theo hàng và cột bất kì. 2 2 1 0 j 4 3 1 2 1  a14 A14  a24 A24  a34 A34  a44 A44 0 4 3 0 5 0 4 2 2 2 1 2 2 1 0.A14 1(1)6 0 4 3  0.A34  (2)(1)8 3 1 2  86 5 0 4 0 4 3 18 §2: Định Thức Ví dụ: Tính định thức sau: 2 3 0 1 2 0 i 4  ( 1)(1)5 1 5 1  6(1) 7 4 1 1 2 2 3 0 2 3  (24  5)  6(3 ...