Bài giảng Động lực học công trình - Chương 3: Dao động của hệ có vô số bậc tự do

Bài giảng Động lực học công trình - Chương 3: Dao động của hệ có vô số bậc tự do gồm có những nội dung cụ thể như sau: Phương trình vi phân tổng quát, dao động riêng không lực cản, dao động cưỡng bức khi hệ chịu lực kích thích tuầnhoàn,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Động lực học công trình - Chương 3: Dao động của hệ có vô số bậc tự doCHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO3.1 Phương trình vi phân tổng quát: Xét dao động của thẳng có khối lượng phân bố m(z) dọc theo ciều dài thanh. Hệ có bậc tự do bằng vô cùng. Khi chịu lực kích thích bất kỳ thay đổi theo thời gian và có phương nghiêng so với trục thanh. Dao động ngang của thanh được xác định bằng phương trình y = y(z, t) là hàm của tọa độ z của tiết diện ngang và thời gian t biểu thị đường đàn hồi của thanh. Từ các liên hệ vi phân giữa đường hồi y(z, t), mô men uốn M(z, t) và cường độ tải trọng phân bố p(z, t):  2 y( z, t )  2 M ( z, t ) EI( z ) 2 = - M ( z , t ); 2 = p( z, t ) z zCHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO 2   2 y( z, t )  q(z,t)  EI( z )  = - p( z , t ). z 2  z 2  p(z,t) > 0 có chiều hướng lên z  2 y ( z, t ) - m( z ) * Tải trọng kích thích bố với t 2 cường độ q(z,t) tác dụng vuông góc với trục thanh >0 khi có chiều hướng lên trên. y r(z,t) * Lực quán tính của khối lượng phân bố m(z) hướng theo chiều chuyển động và bằng: * Lực cản r(z,t) ngược  2 y( z, t ) chiều với chiều chuyển - m( z ) động. t 2CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO  2 y( z, t )  p ( z , t ) = q ( z , t ) + m( z ) 2 + r ( z, t ) t Thay p(z, t) vào phương trình đầu tiên, ta thu được phương trình vi phân tổng quát mô tả dao động ngang của thanh: 2   2 y( z, t )   2 y ( z, t )  EI( z )  2  + m( z )  2 + r ( z , t ) = -q( z , t ) z 2  z  t Nếu thanh có khối lượng m phân bố đều:  4 y( z, t )  2 y ( z, t ) EI( z ) 4 + m( z ) 2 + r ( z , t ) = - q( z , t ) z tCHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO3.2. Dao động riêng không lực cản: 3.2.1. Trường hợp tổng quát: Trong trường hợp này r(z, t) = 0, q(z, t) = 0, phương trình vi phân của dao động riêng có dạng: 2   2 y ( z, t )   2 y ( z, t )  EI( z )  2  + m( z )  2 = 0 z 2  z  t Giải phương trình theo phương pháp tách biến số Fourier ta đặt nghiệm dưới dạng chuỗi là tổng các nghiệm riêng:  y ( z , t ) =  yi ( z ) Fi (t ). i -1 Lấy đạo hàm và thay vào phương trình trên:  2   && (t ) = 0. z 2 [ EI ( z ) y i ( z ). Fi ( t )] + m( z )  y i ( z ) F i i =1 i =1 Cho từng số hạng của tổng phương trình trên bằng không, với số hạng thứ i, ta thu được: 2 && (t ) = 0. ( z ).F (t )] + m( z ) y ( z ) F [ EI ( z ) y i i i i z 2 2  [ EI( z ). y  i ( z )] && z 2 Fi (t )  =- . m( z ). yi ( z ) Fi (t ) Vế phải chỉ phụ thuộc vào thời gian t, vế trái phụthuộc vào z,  tỷ số này = const. Ký hiệu dại lượng nàylà wi2  có 2 phương trình vi phân với biến số độc lâp: 1) &F& (t ) + w 2 F (t ) = 0. i i i Dạng giống như phương trình vi phân dao động hệmột bậc tự do, nghiệm của phương trình này là: Fi (t ) = Ai sin wi t + B cos wi t = ai sin(wi t + ji ). Tương ứng với mỗi nghiệm riêng yi(z, t)=yi(z).Fi(t),dao động riêng của thanh thay đổi điều hòa với tần sốriêng wi. 2 2 2) ...