Bài giảng Giải tích 1 - Chương 5: Chuỗi lũy thừa

Bài giảng "Giải tích 1 - Chương 5: Chuỗi lũy thừa" cung cấp cho người đọc các kiến thức: Định nghĩa, định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa, cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa, các tính chất của chuỗi lũy thừa,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 1 - Chương 5: Chuỗi lũy thừa IV. CHUỖI LŨY THỪA1.Định nghĩa  n Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng  n1 an(x  x0) Bằng phép biến đổi X  ( x  x0 )  n ta đưa chuỗi trên về dạng a X n 1 n Do đó các kết quả về chuỗi lũy thừa chỉ cần xét cho  n trường hợp chuỗi có dạng  n1 an x  n Rõ ràng chuỗi a x n 1 n hội tụ tại x02. Định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.  n  Số R > 0 sao cho chuỗi lũy thừa n a n1 x hội tụ với mọi x : x  R và phân kỳ với mọi x: x R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi.  Khoảng (-R, R) được gọi là khoảng hội tụ của  n chuỗi lũy thừa  n1 an x2. Định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt).  n Nếu chuỗi lũy thừa  n1 an x hội tụ x  R ta cho R = + .  n Nếu chuỗi lũy thừa  n1 an x phân kỳ x  0 ta cho R = 0.3. Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. an1a) Định lý Abel: Giả sử lim n a   n  nKhi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa  n1 an x  0 ,    là: R   1 , 0       ,  0 3. Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt).b. Định lý Cauchy: Giả sử lim n an   n   n khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa n a n1 x 0 ,     1 là: R   , 0       ,   0   nChú ý: Để tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  n1 an x3. Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt). Bước 1: Ta dựa vào hai định lý trên để tìm bán kính hội tụ R. Bước 2: Khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa này là: -R < x < R Bước 3: Xét sự hội tụ của chuỗi tại các đầu mút của khoảng hội tụ. Từ đó ta sẽ có được miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  n n a n1 x4. Một số ví dụ:  n x VD1 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  n1 n a Ta có: an   n1  n 1 1 n an n  1 Vậy R = 1  Khoảng hội tụ của chuỗi là -1 4. Một số ví dụ - VD 1(tt):  x = -1 ta có chuỗi n1 Tại  (1) n1 n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. Vậy miền hội tụ của chuỗi là -1 ≤ x 4. Một số ví dụ - VD2(tt): Ta có: an  1 n  n an  n1  1 n.3 3 n 3 Vậy R=3 Khoảng hội tụ của chuỗi là - 3  X  3  - 3  ( x  2)  3  - 5  x 14. Một số ví dụ - VD2(tt): Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 đầu mút x = -5 và x = ...