Bài giảng Giải tích 2: Chương 4 - TS. Nguyễn Văn Quang

Bài giảng Giải tích 2: Chương 4 cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba; Hệ tọa độ trụ; Hệ tọa độ cầu; Ứng dụng hình học; Ứng dụng cơ học. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung của bài giảng!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2: Chương 4 - TS. Nguyễn Văn Quang1. Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba2. Hệ tọa độ trụ TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm3. Hệ tọa độ cầu4. Ứng dụng hình học5. Ứng dụng cơ họcĐịnh nghĩa f  f ( x, y, z ) xác định trên vật thể đóng, bị chặn E . Chia E một cách tùy ý ra thành n khối hình hộp nhỏ: E1, E2 ,..., En . Thể tích tương ứng mỗi khối: V ( E1 ),V ( E2 ),...,V ( En ). Trên mỗi khối Ei lấy tuỳ ý một điểm M i ( xi , yi , zi ). n Lập tổng Riemann: I n   f ( M i )  V ( Ei ) i 1 I  lim I n , không phụ thuộc cách chia E, và cách lấy điểm Mi n I   f ( x, y, z )dxdydz E được gọi là tích phân bội ba của f = f(x,y,z) trên khối E. 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 2 Đại học Công nghệ - ĐHQGHNTính chất 1) Hàm liên tục trên một khối đóng, bị chặn, thì khả tích trên miền này. 2) VE   dxdydz E 3)    f ( x, y, z )dxdydz   f ( x, y, z )dxdydz E E 4)  ( f  g )dxdydz   fdxdydz   gdxdydz E E E 5) Nếu E được chia làm hai khối E1 và E2 rời nhau:  fdxdydz   fdxdydz   fdxdydz E E1 E2 6) ( x, y, z )  E , f ( x, y, z )  g ( x, y, z )   fdxdydz   gdxdydz E E 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 3 Đại học Công nghệ - ĐHQGHNCách tính (Định lý I   f ( x, y, z )dxdydzFubini): tích phân lặp E z  z 2 ( x, y )Phân tích khối E: Chọn mặt chiếu là ???.Mặt phía dưới: z  z1 ( x, y )Mặt phía trên: z  z2 ( x, y )Hình chiếu: PrOxy E  Dxy z  z1 ( x, y ) I   f ( x, y, z )dxdydz E z2 ( x , y )   dxdy  f ( x, y, z )dz Dxy z1 ( x , y ) Hình chiếu: ??? 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 4 Đại học Công nghệ - ĐHQGHNCách tính – Định lý Fubini (tích phân lặp) Chú ý • Tương tự ta có 2 công thức tích phân lặp khác, khi chiếu khối E lên 2 mặt phẳng Oxz, Oyz. • Thông thường, miền hình chiếu ??? sẽ có biên là phương trình của biên khối E nhưng không chứa ?. Ta sẽ khử ? ở trong phương trình của biên khối E, hoặc tìm phương trình nào không chứa ? của biên khối E. 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 5 Đại học Công nghệ - ĐHQGHNTính tích phân bội ba I   zdxdydz trong đó E là vật thể: E z  2  x  y2 , z  0 ; x2  y 2  1 2Hình chiếu của E xuống Oxy: D : x2  y 2  1Mặt phía trên: z2 ( x, y )  2  x  y 2 2Mặt phía dưới: z1  0  2 x 2  y 2  I     zdz  dxdy x 2  y 2 1   0  23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 6 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 2 x 2  y 2  z2  I     dxdy x 2  y 2 1  2  0 (2  x 2  y 2 ) 2 I   dxdy . Đổi sang hệ tọa độ cực. x 2  y 2 1 2 2  r  2 2 2 1 7 I   d   r  dr  0 0 2 623-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 7 Đại học Công nghệ - ĐHQGHNVí dụ Tính tích phân bội ba I   zdxdydz , trong đó E là vật thể giới hạn bởi: E y  1  x, z  1  x 2 , nằm trong góc phần tám thứ nhất. Hình chiếu của E xuống Oxy: Tam giác OAB. Mặt phía trên: z2 ( x, y )  1  x 2 Mặt phía dưới: z1  0 1  x 2 B I   dxdy   zdz  OAB  0  ...