Bài giảng Giải tích B2: Tích phân bội

Bài giảng Giải tích B2: Tích phân bội gồm có những nội dung chính sau: Tích phân kép trên một hình chữ nhật, tích phân lặp, tích phân kép trên một miền tổng quát, tích phân kép trong tọa độ cực, tích phân bội ba, tích phân bội ba trong tọa độ trụ, tích phân bội ba trong tọa độ cầu. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm bắt các nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích B2: Tích phân bộiTÍCH PHÂN BỘIĐường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật THỂ TÍCH VÀ TÍCH PHÂN KÉP Hình bên là đồ thị của một hàm số f không âm, xác định trên hình chữ nhật R R D Œa; b Œc; d D .x; y / 2 R2 ˇ a Ä x Ä b và c Ä y Ä d ˚ ˇ « Đồ thị là mặt cong có phương trình z D f .x; y /. Gọi S là khối nằm dưới đồ thị của f và nằm trên hình chữ nhật R S D .x; y ; z/ 2 R3 ˇ 0 Ä z Ä f .x; y /; .x; y / 2 R ˚ ˇ « Mục này của chương muốn đưa ra định nghĩa thể tích của khối S. GIẢI TÍCH B2 180/??Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Chia đoạn Œa; b thành m đoạn con Œxi 1 ; xi  đều nhau với độ dài x D .b a/=m; chia đoạn Œc; d thành n đoạn con Œyj 1 ; yj  đều nhau với độ dài y D .d c/=n. Như vậy ta có mn hình chữ nhật con có dạng Rij D Œxi 1 ; xi  Œyj 1 ; yj  D .x; y / ˇ xi 1 Ä x Ä xi ; yj 1 Ä y Ä yj ˚ ˇ « với diện tích A D xy . GIẢI TÍCH B2 181/??Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Trên mỗi ô con Rij , chọn một điểm mẫu .xij ; yij / ngẫu nhiên. Ta có thể xấp xỉ một phần thể tích của khối S nằm phía trên ô con Rij bằng thể tích cột dạng hộp có đáy Rij và chiều cao bằng f .xij ; yij /. Thể tích này bằng f .xij ; yij /A GIẢI TÍCH B2 182/??Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Và thể tích toàn khối S được xấp xỉ bởi m n XX V f .xij ; yij /A iD1 jD1 GIẢI TÍCH B2 183/??Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Định nghĩa tích phân kép Tích phân kép (The double integral) của hàm f trên một hình chữ nhật R là “ m n XX f .x; y /dA D lim f .xij ; yij /A; R m;n!1 iD1 jD1 miễn là giới hạn trên tồn tại theo nghĩa: với mọi số > 0 cho trước, luôn có một số tự nhiên N sao cho ˇ“ m n XX ˇ f .x; y /dA f .xij ; yij /Aˇ < ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ R iD1 jD1 đúng với mọi số m; n lớn hơn N và với mọi cách chọn điểm mẫu .xij ; yij / 2 Rij . Một hàm f như trên được gọi là khả tích trên R. GIẢI TÍCH B2 184/??Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Ta thừa nhận định lý sau đây Điều kiện đủ để khả tích Nếu 1 hàm số f bị chặn trên hình chữ nhật R, nghĩa là có hằng số dương M sao cho 8.x; y / 2 R; ˇf .x; y /ˇ Ä M ˇ ˇ 2 f liên tục trên R, ngoại trừ, có thể gián đoạn trên vài đường cong trơn bên trong R (Đường cong trơn là đường cong được biểu diễn bởi hàm vectơ có đạo hàm liên tục.) thì f khả tích trên R. GIẢI TÍCH B2 185/??Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật Ghi chú. m n XX 1 Tổng f .xij ; yij /A được gọi là tổng Riemann và được dùng iD1 jD1 để xấp xỉ giá trị của tích phân kép. 2 Vì điểm mẫu .xij ; yij / 2 Rij được chọn tùy ý, nên ta có thể chọn theo nhiều cách cho các mục đích khác nhau. 3 Nếu f .x; y / 0; 8.x; y / 2 R, thì thể tích khối S nằm dưới đồ thị của f và nằm trên hình chữ nhật R được định nghĩa bởi công thức “ V D f .x; y /dA R miễn là f khả tích trên R. GIẢI TÍCH B2 186/??Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Tích phân bội Giải tích vectơ Làm quen phương trình vi phân3.1. Tích phân kép trên một hình chữ nhật ...