Bài giảng Giải tích: Chương 3 - Phan Trung Hiếu

Bài giảng Giải tích: Chương 3 Hàm khả vi của Phan Trung Hiếu biên soạn kết cấu gồm có 4 bài được trình bày như sau: Khái niệm, đạo hàm cấp cao, công thức Taylor, ứng dụng. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích: Chương 3 - Phan Trung Hiếu01/10/2017Chương 3:Hàm khả vi§1. Khái niệmGV. Phan Trung Hiếu§1. Khái niệm§2. Đạo hàm cấp cao§3. Công thức TaylorLOGO§4. Ứng dụngI. Đạo hàm cấp một:Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trênkhoảng mở chứa x0. Đạo hàm (cấp một) củahàm số f(x) tại x0, ký hiệu y( x0 )  f ( x0 ) , đượctính bởif ( x0 )  limx  x0f ( x)  f ( x0 )x  x02Trong định nghĩa trên, nếu đặtx  x  x0 : Số gia của biến số tại x0.y  f ( x)  f ( x0 ) f ( x0  x)  f ( x0 ): Số gia của hàm số tại x0.Khi đóf ( x0 )  limx 0nếu giới hạn tồn tại hữu hạn.Chú ý 1.2. Nếu f ( x0 ) tồn tại thì f(x) đượcgọi là khả vi tại x0.3Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm của hàm sốtại x0  0. ln(1  x 2 )khi x  0f ( x)  x0khi x  0Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái)f ( x)  f ( x0 )f ( x0 )  limx  x0x  x0yf ( x0  x)  f ( x0 ) limx  0xxf ( x0  h)  f ( x0 ) limh 0h4Định lý 1.5f ( x0 )  L    f ( x0 )  f ( x0 )  LVí dụ 1.2: Xét sự tồn tại đạo hàm của hàm sốf ( x)  xtại x0  0.Định lý 1.6.f(x) có đạo hàm tại x0  f(x) liên tục tại x0.Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải)f ( x0 )  limx  x0f ( x)  f ( x0 )x  x056101/10/2017Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm sốe ( x  x ) khi x  0f ( x)  khi x  0mx2khả vi tại x0  0.II. Các công thức và quy tắc tính đạo hàm:2.1. Các công thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2.2.2. Quy tắc tính đạo hàm: Với u  u ( x ), v  v ( x) , ta có( k .u )  k .u(u  v)  u  v(u.v)  u.v  u.vVí dụ 1.4: Tìm a, b để hàm số3x 2  5 khi x  1f ( x)  ax  b khi x  1có đạo hàm tại x0  1.7 u  u.v  u.v  v2v2.3. Đạo hàm của hàm số hợp:Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)]. Khi đó xy( x)  yu .u8Ví dụ 1.5: Tính đạo hàm của các hàm số saua) y  arctan x2b) y  (arcsin x )1 xc) y 1 xVi phân (cấp một) của hàm số f(x) làd) y  e arctan e  ln 1  exe) y  ( x 2  1) xIII. Vi phân cấp một:xhay2xdf ( x)  f ( x) dxdy  ydxVí dụ 1.6. Tìm vi phân của hàm số y  e x .3f) y  (1  x ) 2  x 2 3 3  x39Định lý 2.3. Nếu u, v là các hàm khả vi thì1) d (u  v)  du  dv.2) d (k .u)  k .du.3) d (u.v)  vdu  udv.210IV. Ứng dụng của vi phân:Dùng vi phân, ta có thể tính gần đúng giá trị của hàm số.Ta có giá trị của hàm số tại x gần x0 làf ( x0  x)  f ( x0 )  f ( x0 ).x u  vdu  udv4) d   .v2vĐể áp dụng công thức trên ta cần chỉ ra dạng hàm f(x),điểm x0 và số gia x đủ nhỏ.Ví dụ 1.7. Tính gần đúng giá trị của3112,0001.12201/10/2017§2. Đạo hàm cấp caoI. Đạo hàm cấp cao:Định nghĩa 1.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm cấpmột y thì đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x)lày  f ( x)   f ( x) Tương tự, ta có đạo hàm cấp n của f(x) lày ( n )  f ( n ) ( x)   f ( n1) ( x) 13Ví dụ 2.2. Cho hàm số y  x sin x. Chứngminh xy  2( y  sin x )  xy  0.Ví dụ 2.3. Cho hàm số y  2 x  x 2 . Chứngminh y 3 y  1  0.Định lý 1.2 (Công thức Leibniz). Giả sử u vàv có đạo hàm đến cấp n. Khi đóVí dụ 2.1. Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấpkxba, cấp bốn, cấp n của hàm số y  e , k  const.14II. Vi phân cấp cao:Định nghĩa 2.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đếncấp n thì vi phân cấp n của hàm số y=f(x) làk(u.v )( n )   Cn u ( k )v ( nk )nVí dụ 2.4. Tính yd n y  d d n1 y  y ( n ) dx nk 0(20)của hàm sốy  x 2e 2 x .1516I. Công thức khai triển Taylor:§3. Công thức TaylorĐịnh lý 1.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến cấp n+1trên khoảng mở chứa x0. Khi đó, công thức Taylor(khai triển Taylor) cấp n của f(x) tại x0 làf ( x )  f ( x0 ) f ( x0 )f ( x0 )f ( n ) ( x0 )( x  x0 ) ( x  x0 ) 2  ... ( x  x0 ) n1!2!n!f ( n 1) (c )( x  x0 ) n 1( n  1)!trong đó c là một số nằm giữa x và x0.Rn ( x) 17f ( n1) (c )( x  x0 ) n1 : Phần dư Lagrange bậc n.(n  1)!Rn ( x)  o ( x  x0 ) n : Phần dư Peano bậc n.18301/10/2017II. Công thức khai triển Maclaurin:Là khai triển Taylor của hàm f(x) tại điểm x0  0 :f ( x )  f (0) hayf (0)f (0) 2f (0) n f(c ) n1xx  ... x x1!2!n!(n  1)!f ( x)  f (0) (n)( n1)f (0)f (0) 2f ( n) (0) nxx  ... x  o( x n )1!2!n!III. Khai triển Maclaurin của một số hàm sơ cấp:Xem Bảng 3.Cách tìm khai triển Maclaurin đến cấp n:Cách 1: Tính f (0), f (0),..., f ( n ) (0) rồi thế vào công thức.Cách 2: Dựa vào các khai triển có sẵn ở Bảng 3 và đổibiến. Chú ý: đặt w  g ( x) sao cho x  0  w  0.Cách tìm khai triển Taylor đến cấp n tại x = x0 :Cách 1: Tính f ( x0 ), f ( x0 ),..., f ( n ) ( x0 ) rồi thế vào công thứcCách 2: Dựa vào các khai triển có sẵn ở Bảng 3 và đổibiến. Chú ý: đặt w  x  x0 .19Ví dụ 3.1. Tính đạo hàm cấp n của hàm số1f ( x)  2.x  2x  8Từ đó, suy ra khai triển Maclaurin của hàm số f(x) đếncấp n.20Ví dụ 3. ...