Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất

Bài giảng "Toán cao cấp - Chương 1: Các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất" cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm sự kiện, khái niệm xác suất. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất Chương 1CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤTI. Khái niệm sự kiện1. Phép thử : Có thể là một thí nghiệm nào đóhoặc một quan sát hiện tượng nào đó.2. Sự kiện là kết quả của phép thử.Thí dụ : Phép thử là tung một súc sắc. Các sự kiệncó thể là A1={Xuất hiện mặt 1 nút } = 1 A2={Xuất hiện mặt 2 nút } = 2 …………….. A6={Xuất hiện mặt 6 nút } = 6 A ={Xuất hiện mặt chẵn nút } = { 2, 4, 6 } B ={Xuất hiện mặt lẻ nút } = { 1, 3, 5}Sự kiện chắc chắn : nhất định xảy ra khi thựchiện phép thử. Ký hiệu : .Trong thí dụ trên  = {1, 2, …, 6}.Sự kiện không thể : nhất định không xảy ra khithực hiện phép thử. Ký hiệu : .Trong thí dụ trên  là tập rỗng.3. Quan hệ giữa các sự kiện :1) A+B - Tổng của A và B là sự kiện xảy ra khi vàchỉ khi có ít nhất một trong chúng xảy ra.2) AB - Tích của A và B là sự kiện xảy ra khi và chỉkhi cả A và B cùng xảy ra.3) A và B được gọi là xung khắc nếu A và B khôngthể cùng xảy ra.Như vậy : A và B được gọi là xung khắc nếu AB= .4) A - Đối lập của A là sự kiện xảy ra khi vàchỉ khi A không xảy ra.Tính chất : a) A A   b) AA5) A  B được gọi là A thuận lợi cho B khi A xảyra thì B xảy ra.6) A = B được gọi là A bằng B khi A  B và B  A.7) Các sự kiện A1, …, An được gọi là nhóm đầy đủ nếu a) Chúng xung khắc từng đôi : Ai Aj  , i  j b) Nhất định một trong chúng xảy ra : A 1  A 2  ...  An  Nhận xét : Hai sự kiện và là nhóm đầy đủ. A AII. Khái niệm xác suất1. Tiên đề của xác suất. Xác suất của sự kiện A là số thực dùng để chỉ khả năng xảy ra của A trong phép thử, ký hiệu là P(A). Xác suất thỏa mãn các tiên đề của Kolmogorov sau đây:T1 : P(A)  0T2 : P() = 1T3 : P(A+B) = P(A) + P(B) nếu A và Bxung khắc.T4 :     P  Ai    P ( Ai )nếu các  i 1  i 1 (i =1, 2, …) xung khắc từng đôi. AiTính chất của xác suất :1) P     02) P( A)  1  P( A) 3) P( A)  P( Bnếu ) A B 4) 0  P( A)  12. Không gian các sự kiện sơ cấp : Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là không gian sự kiện sơ cấp (KGSKSC), ký hiệu là . Phần tử của  được gọi là sự kiện sơ cấp (SKSC). Các sự kiện sơ cấp (SKSC) có các đặc điểm:  Xung khắc từng đôi.  Nhất định một trong chúng phải xảy ra.  Không thể là tổng của những sự kiện khác. Sự kiện là tập con của .  Các SKSC của A gọi là các SKSC thuận lợi cho A.  A gọi là xảy ra nếu có một SKSC của A xảy ra.  [A] – số SKSC của A.KGSKSC có thể có hữu hạn, vô hạn đếm đượchoặc vô hạn không đếm được các SKSC.3. Định nghĩa xác suất cổ điển : Xét KGSKSC  = { 1 , …, n } :- Có hữu hạn phần tử.- Các SKSC đồng khả năng : P(1) = … = P(n) = 1 nĐịnh nghĩa : P( A)   A Thí dụ : Hộp có 6 bi đỏ, 4 trắng. Lấy ngẫu nhiêncùng lúc 3 bi. Tính xác suấta) Được 3 bi đỏ.b) Được 2 bi đỏ.c) Được ít nhất 1 bi đỏ.Giải :    C 3 10 3a) A = { được 3 bi đỏ }, P( A)  6 C C103b) B = { được 2 bi đỏ }, C62C41 P( B)  3 C10c) C = { được ít nhất 1 bi đỏ }, C61C42  C62C41  C63 P(C )  C103Bằng cách khác, ta có C= { Không có bi đỏ nào} = {Được 3 bi trắng} C43 P(C )  1  P(C )  1  3 C104. Định nghĩa xác suất theo hình học :Xét KGSKSC  : - Có vô hạn phần tử. - Các SKSC đồng khả năng.Giả sử  và sự kiện A có thể biểu diễn bằng cácmiền hình học. Ký hiệu m(A) và m() là kíchthước của chúng.Định nghĩa : m( A) P( A)  m()Chúng ta có thể thấy rằng xác suất trong địnhnghĩa trên chỉ phụ thuộc vào m(A) mà không phụthuộc vào hình dáng, vị trí của miền A trong miền .Thí dụ : Bẻ một thanh gỗ thành hai đoạn tại mộtđiểm ngẫu nhiên trên thanh gỗ. Tính xác suất đểđoạn nhỏ hơn có chiều dài không quá một phần bachiều dài thanh gỗ (sự kiện A).Giải : Ký hiệu a là chiều dài thanh gỗ và x là chiềudài từ điểm gẫy đến một đầu cố định của thanh gỗ.Sự kiện A xảy ra khi và chỉ khi 0< x < a/3 hoặc (2/3)a < x < a 0 a/3 2a/3 aVậy (a / 3)  (a / 3) P ( A)   2/ 3 a ...