Có thể nói lý thuyết xác suất và thống kê toán học đã trở thành kiến thức cơ sở không thể thiếu của mỗi kỹ sư tương lai. Cùng tìm hiểu 'Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Phần 1' với các nội dung nghiên cứu chính: Giải tích kết hợp, sự kiện và xác suất, biến ngẫu nhiên,... Hy vọng tài liệu sẽ hỗ trợ các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu của mình. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Phần 1 LỜI NÓI ðẦU Lý thuyết xác suất là bộ môn toán học nghiên cứu tính qui luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Các khái niệm ñầu tiên của xác suất do các nhà toán học tên tuổi Pierre Fermat (1601-1665) và Blaise Pascal (1623-1662) xây dựng vào giữa thế kỷ 17, dựa trên việc nghiên cứu các qui luật trong các trò chơi may rủi. Do sự hạn chế của trình ñộ toán học ñương thời, nên suốt một thời gian dài các trò chơi may rủi vẫn là cơ sở duy nhất cho các khái niệm và phương pháp của lí thuyết xác suất với công cụ chủ yếu là phép tính tổ hợp và số học sơ cấp. Hiện nay, tuy lí thuyết xác suất ñã có nền tảng toán học ñồ sộ, nhưng các phương pháp ngây thơ ban ñầu ñó vẫn còn tác dụng, ñặc biệt ñối với các ngành khoa học thực nghiệm. Việc giải quyết các bài toán nảy sinh trong lí thuyết sai số và ño lường ñã ñem lại bước phát triển mới cho lí thuyết xác suất. Các nhà toán học Jacob Bernoulli (1654- 1705), A.Moivre (1667-1754), Laplace (1749-1827), Gauss (1777-1855), Poisson (1781-1840) ñã có công lao xứng ñáng phát triển lí thuyết xác suất bằng phương pháp giải tích. Từ giữa thế kỉ 19 ñến ñầu thế kỉ 20, sự phát triển của lí thuyết xác suất gắn liền với tên tuổi các nhà toán học Nga như Bunhiacốpxki (1804-1889), Trebưsep (1821- 1894), Markov (1856-1922) và Liapunov (1857-1918). Trong quá trình phát triển mạnh mẽ của của lí thuyết xác suất, vấn ñề xây dựng một cơ sở toán học chặt chẽ trở thành cấp thiết. Sự ra ñời của lí thuyết tập hợp và ñộ ño ñã cung cấp công cụ toán học giải quyết vần ñề này, và vinh quang xây dựng lí thuyết xác suất tiên ñề thuộc về nhà toán học Nga Kolmogorov (1929). Sự ra ñời của thống kê toán học bắt nguồn từ các vấn ñề thực tiễn và dựa trên những thành tựu của lí thuyết xác suất. Các thí nghiệm trong các ngành khoa học khác nhau như vật lý, hóa học, sinh học, y học, ... phụ thuộc vào nhiều yếu tố ngẫu nhiên như con người, môi trường,... Do ñó kết quả thực nghiệm thường là các ñại lượng ngẫu nhiên. Có thể ñịnh nghĩa thống kê toán học là ngành khoa học về các phương pháp tổng quát xử lý các kết quả thực nghiệm. Cùng với sự phát triển của lí thuyết xác suất, thống kê toán học ñã có bước tiến nhanh, với sự ñóng góp của các nhà toán học như Gantơn (1822-1911), Piếcxơn (1857-1936), Cramer, Fisher, Von Neuman, ... Thống kê toán học ñã có các ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế và xã hội khác nhau như vật lí, hóa học, cơ học, sinh vật, y học, dự báo, khí tượng, thủy văn, vô tuyến, ñiện tử, ngôn ngữ học, xã hội học, ... Có thể nói lí thuyết xác suất và thống kê toán học ñã trở thành kiến thức cơ sở không thể thiếu của mỗi kỹ sư tương lai. Giáo trình ñược biên soạn lần ñầu nên chắc chắn còn nhiều khiếm khuyết. Tác giả chân thành cảm ơn những ý kiến ñóng góp quý báu của ñộc giả ñể giáo trình ngày một hoàn thiện. Xin chúc các bạn thành công! ðà nẵng 1/2005 Tác giả. CHƯƠNG 0 GIẢI TÍCH KẾT HỢP I. TẬP HỢP 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN • ðnh nghĩa: Khái niệm tập hợp là khái niệm nền tảng cho toán học cũng như ứng dụng của nó. Tập hợp là khái niệm nguyên thuỷ không ñịnh nghĩa chính xác dựa trên các khái niệm khác. Tập hợp ñược coi là kết hợp các ñối tượng có cùng bản chất (thuộc tính, dấu hiệu ) chung nào ñó. Tập hợp thường ñược ký hiệu bằng các chữ cái A, B, C , ... Các phần tử của tập hợp ký hiệu bằng các chữ thường a, b, c,... ðể chỉ x là phần tử của tập hợp X ta viết : x ∈ X (ñọc : x thuộc X ) ðể chỉ x không phải là phần tử của X ta viết : x ∉ X (ñọc : x không thuộc X ) Tập không có phần tử gọi là tập rỗng và ký hiệu ∅. • Biu din tp hp: Có hai cách biểu diễn tập hợp như sau (i) Liệt kê các phần tử : + Ví dụ A = { a, b, c } X = { x1, x2, ... , xn } (ii) Biểu diễn tập hợp bằng cách mô tả tính chất : + Ví dụ C = { n | n là số chẵn } Y = { x | x là nghiệm phương trình x2 + 2x - 5 = 0 } • Lc lưng tp hp: Số phần tử của tập A, ký hiệu là |A|, gọi là lực lượng của tập A. Nếu |A| < ∞ , ta nói A là tập hữu hạn, nếu |A| = ∞ , ta nói A là tập vô hạn. Trong chương trình này ta giả thiết các tập hợp là hữu hạn. • Quan h bao hàm: Cho hai tập A, B. Nếu mỗi phần tử thuộc A cũng thuộc B ta nói A là tập con của B và ký hiệu A ⊂ B Nếu A không phải tập con của B ta ký hiệu A ⊄ B Nếu A ⊂ B và B ⊂ A ta nói A bằng B và ký hiệu A = B Nếu A ⊂ B , A ≠ ∅ và B ≠ A, thì ta nói A là tập con thực sự của B. + Ví dụ ...
