Bài giảng Toán cao cấp - Nguyễn Quốc Tiến

Bài giảng Toán cao cấp cung cấp cho người đọc những kiến thức như: giới hạn-tính liên tục của hàm số; phép tính vi phân hàm một biến; phép tính tích phân hàm một biến; phép tính vi phân hàm nhiều biến; hệ phương trình tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp - Nguyễn Quốc Tiến NGUYỄN QUỐC TIẾN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2011 1 0 Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN-TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 1.1 Giới hạn hàm số 1.1.1 Định nghĩa Cho hàm số f ( x ) xác định trong một lân cận của x0 (có thể trừ tại x0 ). Số L được gọi là giới hạn của hàm số f ( x ) khi x dần đến x0 nếu:   0,   0, x  D : (0  x  x0    f ( x)  L   ) và được kí hiệu lim f ( x)  L hay f ( x )  L khi x  x0 . x  x0 Giới hạn của hàm số f ( x ) khi x dần đến x0 còn có thể định nghĩa thông qua giới hạn của dãy số như sau: lim f ( x)  L    xn  : xn  x0  f ( xn )  L x  x0 1.1.2 Định lí Cho f ( x ), u ( x), v( x ) xác định trong một lân cận của x0 có thể trừ tại x0 . Nếu u ( x)  f ( x)  v( x) với mọi x thuộc lân cận đó và lim u ( x)  lim v ( x )  L thì x  x0 x  x0 lim f ( x)  L x  x0 1 sin x Ví dụ. Chứng minh lim x0 x  Thật vậy x :0  x  ta có bất đẳng thức cos x   1 , mà lim cos x  1 suy ra sin x 2 x x 0 1 sin x lim x 0 x 1.1.3 Một số tính chất của giới hạn hàm số i) Nếu lim f ( x)  L thì giới hạn đó là duy nhất x  x0 ii) lim C  C (C : hằng số) x  x0 iii) Nếu f ( x)  g ( x), x thuộc một lân cận nào đó của x0 hoặc ở vô cực thì lim f ( x)  lim g ( x) (nếu các giới hạn này tồn tại). x  x0 x  x0 1 Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN iv) Nếu f ( x)  g ( x)  h( x), x thuộc một lân cận nào đó của x0 hoặc ở vô cực và lim f ( x)  L  lim h ( x) thì lim g ( x)  L x  x0 x  x0 x x 0 v) Giả sử các hàm số f ( x), g ( x) có giới hạn khi x  x0 khi đó ta có các kết quả sau : lim ( f ( x)  g ( x ))  lim f ( x )  lim g ( x ) x  x0 x  x0 x  x0 lim kf ( x)  k lim f ( x) x  xo x  xo lim f ( x). g ( x)  lim f ( x). lim g ( x)   x  xo x  xo x  xo  0 , lim g ( x )  0 f ( x) xlim x f ( x) lim x  x0 g ( x ) lim g ( x) x x0 x  x0 1.2 Vô cùng bé Giả sử ta xét các hàm trong cùng một quá trình, chẳng hạn khi x  xo . (Những kết quả đạt được vẫn đúng trong một quá trình khác) 1.2.1 Định nghĩa Hàm  ( x) được gọi là một vô cùng bé (VCB) trong quá trình x  xo nếu lim  ( x )  0 x  x0 x 1 Ví dụ. sin x, tgx, 1  cos x là những VCB khi x  0 , còn là VCB khi x   x2  2 1.2.2 So sánh hai VCB Cho  ( x) và  ( x ) là hai VCB trong một quá trình nào đó (chẳng hạn khi x  xo ). Khi đó tốc độ tiến về 0 của chúng đôi khi có ý nghĩa quan trọng. Cụ thể ta có các định nghĩa:  ( x)  0 thì ta nói  ( x) là VCB bậc cao hơn VCB  ( x) trong quá trình đó (  ( x)  ( x) Nếu lim dần tới 0 nhanh hơn  ( x ) khi x  xo )  ( x)  L  0 thì ta nói  ( x) và  ( x ) là hai VCB ngang cấp trong quá trình đó (  ( x)  ( x) Nếu lim và  ( x ) dần tới 0 ngang nhau khi x  xo . Đặc biệt khi L  1 ta nói  ( x) và  ( x ) là hai VCB tương đương, kí hiệu là  ( x)   ( x) . 1.2.3 Một số VCB tương đương cơ bản khi x  0 sin x  x tgx  x arcsin x  x arctgx  x; 2 Ths.NGUYỄN QUỐC TIẾN 1  cos ax  log (1  x)  1  x  1   x ln(1  x)  x (ax )2 1  x 2 a ln a a x -1  x ln a e x -1  x an x n  an 1 x n 1  ...  a p x p  a p x p , (n  p, a p  0) Sinh viên có thể tự kiểm tra các tương đương này (xem như bài tập) Ví dụ. So sánh cấp của các VCB:  ( x)  sin x  tgx;  ( x)  1  cos x , khi x  0 Ta có:  sin x  1  1   ( x)   lim sin x  tgx  lim  cos x   lim sin x 0 x 0  ( x) x  0 1  ...