Bài giảng Phép tính vi phân hàm nhiều biến

Bài giảng Phép tính vi phân hàm nhiều biến trình bày các nội dung: Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, vi phân toàn phần, bài toán tối ưu không ràng buộc, bài toán tối ưu với ràng buộc đẳng thức.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phép tính vi phân hàm nhiều biến Các nội dung chính PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 1 Hàm nhiều biến 2 Đạo hàm riêng Ts. Lê Xuân Trường 3 Vi phân toàn phần 4 Bài toán tối ưu không ràng buộc 5 Bài toán tối ưu với ràng buộc đẳng thứcTs. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 1 / 36 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 2 / 36 Hàm nhiều biến Hàm nhiều biến z = f (x, y ) PHẦN 1 HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ: z = f (x, y ) = 2x 2 + 3y 2 là một hàm số theo hai biến số f (0, 1) = 3, f (−2, 1) = 11. Tập xác định: D = (x, y ) ∈ R2 : f (x, y ) có nghĩa Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 3 / 36 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 4 / 36Hàm nhiều biếnĐồ thị của hàm hai biến z = f (x, y ) Gf = {(x, y , f (x, y )) : (x, y ) ∈ D } PHẦN 2 ĐẠO HÀM RIÊNG Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 5 / 36 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 6 / 36Đạo hàm riêng Đạo hàm riêngĐạo hàm riêng Nhận xét: Cho hàm số z = f (x, y ) xác định trên tập mở D và (x0 , y0 ) ∈ D. Để tính đạo hàm riêng theo một biến nào đó, ta xem các biến còn lại là hằng số và sử dụng các quy tắc đã biết trong hàm một biến. Đạo hàm riêng theo x Ta có ∂f f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) = zx (x0 , y0 ) ∆x + 0 (∆x ) zx (x0 , y0 ) ≡ (x0 , y0 ) := lim ∂x ∆x →0 ∆x f (x0 , y0 + ∆y ) − f (x0 , y0 ) = zy (x0 , y0 ) ∆y + 0 (∆y ) Đạo hàm riêng theo y ∂f f (x0 , y0 + ∆y ) − f (x0 , y0 ) zy (x0 , y0 ) ≡ (x0 , y0 ) := lim ∂y ∆y →0 ∆y Ví dụ: Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau (nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn) f (x, y ) = 2x 2 y 3 + x −y 2x +1 g (x, y , z ) = xy sin (y + 2z ) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 7 / 36 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 8 / 36Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng Biên tế riêngBiên tế riêng Ví dụ: - Lợi ích biên: Xét hàm lợi ích (hàm hữu dụng) Cho hàm số z = f (x, y ) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0 , y0 ) U = U (x1 , x2 ) . Biên tế của z theo x Lợi ích biên theo x1 và x2 lần lượt được xác định bởi ∂U ∂U ∂f MUx1 = và MUx2 = . Mzx (x0 , y0 ) := (x0 , y0 ) ≈ f (x0 + 1, y0 ) − f (x0 , y0 ) ∂x1 ∂x2 ∂x - Sản lượng biên: Cho hàm sản xuất Biên tế của z theo y Q = Q (K , L ...