Bài giảng Phương pháp tính: Chương 1 - TS. Nguyễn Quốc Lân

Bài giảng Phương pháp tính: Chương 1 trình bày phương pháp giải gần đúng phương trình phi tuyến f(x) = 0. Các nội dung cụ thể được trình bày trong chương bao gồm: Khái niệm tổng quát, công thức sai số, phương pháp chia đôi, phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton (tiếp tuyến), hệ phương trình phi tuyến, phương pháp Newton – Raphson.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương pháp tính: Chương 1 - TS. Nguyễn Quốc Lân BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK ------------------------------------------------------------------------------------- PHƯƠNG PHÁP TÍNH – HK2 0506 CHƯƠNG 1 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN f(x) = 0 • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (02/2006) NỘI DUNG --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1– KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT. CÔNG THỨC SAI SỐ 2– PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI 3– PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN 4– PHƯƠNG PHÁP NEWTON (TIẾP TUYẾN) 5– HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN. PHƯƠNG PHÁP NEWTON – RAPHSON. 1. KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT – CÔNG THỨC SAI SỐ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phương trình f(x) = 0 (1), f: hàm số liên tục, có đạo hàm Khoảng cách ly nghiệm: Đoạn [a, b] (hoặc khoảng (a, b) ), trên đó phương trình (1) có nghiệm α duy nhất VD: Phương trình x – cosx = 0 có khoảng cách ly nghiệm: ĐK đủ: [a, b] là KCLN của (1) khi  Đạo hàm f’ không đổi dấu trên đoạn (hoặc khoảng) (a,b)  f(a).f(b) < 0 (giá trị 2 đầu trái dấu) Tìm KCLN: Tính f’, lập bảng biến thiên; Cách 2: Đồ thị (máy!) CÔNG THỨC SAI SỐ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Công thức sai số tổng quát: Phương trình f(x) = 0 (1) với nghiệm chính xác α trên khoảng cách ly nghiệm [a, b]  x ∈ [ a, b] : Nghieäm ñuùng bieát gaàn ñaõ f ( x)  ⇒ x −α ≤  f ' ( x ) ≥ m > 0 ∀ x ∈ [ a, b] ⇔ m = min f ' ( x ) m1   1 1 [ a ,b ] VD: P/trình f(x) = x – cosx = 0 có khoảng cách ly nghiệm [0,1] a / 0.00014 ? Nếu chọn nghiệm gần đúng x = 0.739 ⇒ ∆ x :  b / 0.00015 ? Giải: Ghi nhớ: Sai số luôn làm tròn lên PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ý tưởng: Liên tục chia đôi khoảng cách ly nghiệm f(x) = 0 trên KCL nghiệm [a, b]. Ký hiệu: a0 = a, b0 = b ⇒ f(a0).f(b0) < 0. Chia đôi: c0 = (a0 + b0)/2 ⇒ KCL nghiệm mới? a0 c0 b0 a0 c0 b0 f(a0).f(c0) < 0: KCL mới [a0, c0] f(c0).f(b0) < 0 → [c0, b0] Dừng với nghiệm xấp xỉ x = cn (trung điểm ở hàng thứ n) ( b − a )  log  b−a  ε  −1  Công thức sai số: x − α ≤ n +1 ≤ ε ⇔ n ≥ 2 log 2 VÍ DỤ PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Xấp xỉ nghiệm của phương trình f(x) = x – cosx = 0 trên khoảng cách ly nghiệm [0, 1] với sai số 0.2 Giải: Lập bảng chứa mọi kết quả trung gian cần thiết n an bn cn εn Tìm n để có thể xấp xỉ nghiệm f(x) = x – cosx = 0 trên khoảng cách ly nghiệm [0, 1] bằng phương pháp chia đôi, sai số 10-8 DÃY LẶP ĐƠN ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Dãy lặp đơn: Dãy{xn } xác định xn+1 = ϕ(xn), ϕ(x): hàm lặp VD: Kiểm tra những dãy sau có là lặp đơn? Nếu có, viết ra hàm lặp ϕ. Tính 5 số hạng đầu của dãy (x0 bất kỳ). Từ đó, đoán tính hội tụ? Tìm liên hệ giữa giới hạn dãy và hàm lặp ϕ  xn  a / xn +1 = cos  n xn n zn  10  0 0 b / yn +1 = 3 ny n 1 1 zn c / z n +1 = + 1 2 2 15 Dãy lặp đơn xn = ϕ(xn-1) hội tụ về α ⇒ α là nghiệm p/t x = ϕ(x) DÃY LẶP ĐƠN HỘI TỤ ------------------------------- ...